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湖南大学2012年数学竞赛试卷（数学专业类）及参考答案
1.设A实对称，B实反对称，证明：（1）|A+B|>0 (2)A-B2正定证：(1)只要对A=I的情形证明即可。事实上，由于A正定，则存在可逆P使得A=PTP。A+B>0?PTI+(P-1)TBP-1P>0?I+(P-1)TBP-1>0。显然(P-1)TBP-1反对称。对于I+B。?0b1??0bs?由于B反对称，则存在正交阵T使得TBT=D?diag{??,?-b0?,0,...,0}-b0?1??s?s?1b1??1bs?T2则I+B=TI+DT?I+D?diag{?,,1,...,1}?(1+b?i)>0。???i=1?-b11??-bs1?T
(2)由于B反对称，则-B?BT。则A-B2?A+BTB。其中A是正定的，BTB是半正定的。则它们的和是正定的。
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2.设W是n维线性空间V的子空间。?为其上的线性变换。令W0=W?ker?。求证：(1)dimW=dim?W+dimW0(2)dim?3V+dim?V?2dim?2V证明：设?1,?2,...,?s为W0一组基。则他们可以扩充为W的一组基?1,?2,...,?s,?s+1,,...,?t下面我们来证明??s+1,,...,??t为dim?W的一组基。对???W，有?=k1?1+k2?2+...+ks?s+ks+1?s+1+...+kt?t则??=??k1?1+k2?2+...+ks?s+ks+1?s+1+...+kt?t?=ks+1??s+1+...+kt??t则??可由??s+1,,...,??t表出。再证它们线性无关。设有线性组合ls+1??s+1+...+lt??t=??ls+1?s+1+...+lt?t?=0则ls+1?s+1+...+lt?t?W且?ker?。故?W0。则它能被?1,?2,...,?s表出。有l1?1+l2?2+...+ls?s=ls+1?s+1+...+lt?t。由于?1,?2,...,?s,?s+1,,...,?t为W的基。所以只能有ls+1=...=lt=0.所以??s+1,,...,??t线性无关。综上??s+1,,...,??t为dim?W的一组基。则dimW=t=t-s+t=dim?W+dimW0（2）取V的一组基?1,?2,...,?n。则在此基下,?3,?2,?对应的矩阵分别为A3,A2,A由Frobenius不等式有。r(AAA)?r(AA)+r(AA)-r(A)即r(A3)+r(A)?2r(A2)等价的有dim?3V+dim?V?2dim?2V注：Frobenius不等式?AB0??0?ABC??0?ABC?因为????B???BBBCBC0?????????AB0????AB0????0?ABC??则r(AB)?（rBC）=r???r?r??????????0BCBBCB0????????????即r(ABC)?r(AB)+r(BC)-r(B)
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?yz?xz?+=1?-=13.已知直线l1:?bc,l2:?ac,其中abc?0???x=0?y=01111求证：(1)l1，l2异面(2)设l1，l2的距离为2d，求证2=2+2+2dabcr证明:(1)l1方向向量u=(0,b,-c)过点P1?(0,b,0)uuuurrl2方向向量v=(a,0,c)过点P2?(0,0,-c)并且知道PP12=(0,-b,-c)0b-cuuuurrr考察混合积u,v,PP0c=2abc?0.所以l1，l2异面12=a0-b-crrrijkrrr(2)考察u，v的公垂向量n=a0c=(bc,ac,-ab)。0-b-c urrruuuu,v,PP122abc1111则2d==。整理显然有=2+2+2r2222ndabc?bc?+?ac?+?ab?????
4.设?xn?为一正无穷大数列。E??x1,x2,...,xn...?，试证存在正整数p使得，xp?infE.证明：由于?xn?为正无穷大数列，则存在N使得若n>N，则xn>x1则infE=inf?x1,x2,...,xN?。而右边是一个有限集，必可取的p使得xp?infE
5.设?>?>0,求I=?解：则I=?+?+?0e-?x-e-?xdxx22220dt?e-txdx。由于???+?2?+?0e-txdt??2+?0e-t?dt右侧收敛
2则交换积分号有I=?dx??0e-txdt=?(?-?)
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6.设f(x)>0,且在[0,1]上连续。求证limnn??n?(f(n))i=1nin=maxf(x)。x?[0,1]证明：设M?maxf(x)。则nx?[0,1]inn(f())?nMn=nnM?ni=1
又f是连续的，故存在x0使得f(x0)=M并且对??>0,??>0,使得若x-x0M-??nni=1nin(f())=M=maxf(x)。?x?[0,1]ni=1
7.设f(x)?C1[0,1]，f(0)=0,f(1)=1，k1,...,kn为正数。求证存在互不相同的x1,...,xn?[0,1]，使得?i=1nnnki=?kif?(xi)i=1nki证明：记?ki=M。pi=。则0 f(ci)-f(ci-1)=pi由lagrange定理知道。存在xi?[ci-1,ci]。使得pi=f(ci)-f(ci-1)=f?(xi)(ci-ci-1)nnnnpipiki即=ci-ci-1。则?=??ci-ci-1?=1.整理既得?=?ki??f?(xi)f(x)f(x)i=1i=1i=1i=1ii 仅供学习与参考 学习资料 8.设f?C2[a,b],求证存在c?[a,b]使得ba+b13??f(x)dx=(b-a)f()+f(c)(b-a)?a224证明：设F(t)=?f(x)dx。由于f?C2[a,b]，则F?C3[a,b]at在a+b处做Taylor展开。即有2f?(a+b)2(t-a+b)2+f??(?)(t-a+b)32!23!2a+ba+ba+b)+f()(t-)+222分别令t=a,b。则有F(t)?F(a+b)a+ba+ba-ba-b2f??(?1)a-b32F(a)?F()+f()()+()+()2222!23!2a+bf?()a+ba+bb-a2(b-a)2+f??(?2)(b-a)3F(b)?F()+f()()+2222!23!2a+b1f??(?1)+f??(?2)下式减上式有F(b)=f()(b-a)+(b-a)3[]2242 f??(?1)+f??(?2)2??????这里由于f?C[a,b]，所以f?C[a,b]。由于fmin< 仅供学习与参考
湖南大学数学竞赛(数学专业组)试题及解答演示教学
