[基
础题组练]
1．根据如下样本数据：
x y 3 4.0 4 2.5 5 0.5 6 0.5 7 0.4 8 0.1 ^^^得到的线性回归方程为y＝bx＋a，则( ) ^^
A.a>0，b>0 ^^
C.a<0，b>0
^^B.a>0，b<0 ^^D.a<0，b<0
^
解析：选B.根据给出的数据可发现：整体上y与x呈现负相关，所以b<0，由样本点(3，4.0)及(4，^
2.5)可知a>0，故选B.
2．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y^
与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A．66% C．79%
B．67% D．84%
^
解析：选D.因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程y＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为
x＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费
4.2
额占人均工资收入的百分比为＝84%.
5
3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，1
若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
2
A．－1 1C. 2
B．0 D．1
^
解析：选D.所有点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1，故选D.
4．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
年份(届) 学科竞赛获省级一等奖 及以上的学生人数x
2014 51 2015 49 2016 55 2017 57
被清华、北大等世界名校 录取的学生人数y 103 96 108 107 ^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为1.35，该校2024届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )
A．111 C．118
B．117 D．123
－－^－^－
解析：选B.因为x＝53，y＝103.5，所以a＝y－bx＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线^^
方程为y＝1.35x＋31.95.当x＝63时，代入解得y＝117，故选B.
5．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
愿生 不愿生 总计 2
非一线 45 13 58 一线 20 22 42 总计 65 35 100 n（ad－bc）2由K＝，
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
100×（45×22－20×13）得K＝≈9.616.
65×35×58×42
2
2
参照下表，
P(K2≥k0) k0 下列结论正确的是( ) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：选C.因为K≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.
6．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y^
关于x的回归直线方程：y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
^
解析：x变为x＋1，y＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．
2
答案：0.245
7．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生编号 数学成绩 物理成绩 给出散点图如下： 1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95
根据以上信息，判断下列结论：
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．
其中正确的个数为________．
解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学的数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.
答案：1
8．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，
666
12
6)都在曲线y＝bx－附近波动．经计算∑xi＝11，∑yi＝13，∑xi＝21，则实数b的值为________． i＝1i＝1i＝13
2
6
2
2
6
∑x∑y1－i＝1i7－i＝1i解析：令t＝x，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时t＝＝，y＝3626＝
13113715
，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝. 6362375答案： 7
9．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部3
110人中随机抽取1人为优秀的概率为. 11
甲班 乙班 总计 (1)请完成上面的列联表； 优秀 10 非优秀 30 总计 110 (2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．
n（ad－bc）2参考公式与临界值表：K＝. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
P(K2≥k0) k0 解：(1)列联表如下： 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 甲班 乙班 总计 (2)根据列联表中的数据，得到 优秀 10 20 30 非优秀 50 30 80 总计 60 50 110 110×（10×30－20×50）K＝≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班
60×50×30×80
2
2
级有关系”．
10．(2024·长沙市统一模拟考试)某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如下表：
月份 广告投入 量/万元 收益/万元 1 2 14.21 2 4 20.31 bx3 6 31.8 4 8 31.18 5 10 37.83 6 12 44.67 他们用两种模型①y＝bx＋a，②y＝ae分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
－－66x 7 y ? xiyi i＝1i ? x2i＝130 1 464.24 364
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由．
(2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除；(ⅰ)剔除异常数据后，求出(1)中所选模型的回归方程；
(ⅱ)广告投入量x＝18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？
^^^
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二
－－
∑ （xi－x）（yi－y）
^i＝1
乘估计分别为b＝－2
∑ （xi－x）
i＝1nn－－
∑xiyi－nxyi＝1^－^－＝n，a＝y－bx.
－22
∑xi－nxi＝1
n解：(1)应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄，所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高．
－1
(2)(ⅰ)剔除异常数据，即3月份的数据后，得x＝×(7×6－6)＝7.2，
5－1
y＝×(30×6－31.8)＝29.64.
5
5
? xiyi＝1 464.24－6×31.8＝1 273.44，
i＝15
2
i＝364－6＝328. ? x2
i＝1
－－∑xiyi－5xy1 273.44－5×7.2×29.64206.4^i＝1
b＝5＝＝＝3，
－2328－5×7.2×7.268.82
∑xi－5xi＝1
5
^
a＝y－bx＝29.64－3×7.2＝8.04.
^
所以y关于x的回归方程为y＝3x＋8.04.
^
(ⅱ)把x＝18代入(ⅰ)中所求回归方程得y＝3×18＋8.04＝62.04， 故预报值为62.04万元．
[综合题组练]
－^－
2024高考理科数学一轮复习 第十一章 3 第3讲 刷好题练能力
