2024年数学中考考前冲刺提分训练：一次函数
1．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）． （1）如图1，当时间t＝ 2 秒时，四边形APQO是矩形；
（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于 1或3 秒；
（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接OP，
OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．
解：∵矩形AOBC中，C（6，4） ∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4
依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3） ∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t （1）∵四边形APQO是矩形 ∴AP＝OQ ∴t＝6﹣2t 解得：t＝2 故答案为：2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H ∴四边形APHO是矩形
∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90° ∵PQ＝5 ∴HQ＝
①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t ∴6﹣3t＝3
解得：t＝1
②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6 ∴3t﹣6＝3 解得：t＝3 故答案为：1或3．
（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M ∴四边形AMNO是矩形 ∴MN＝OA＝4，ON＝AM
∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E ∴PQ垂直平分OE ∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE ∵∠POE＝45° ∴∠PEO＝∠POE＝45°
∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部 ∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90° ∴∠MPE＝∠AOP 在△MPE与△AOP中
∴△MPE≌△AOP（AAS） ∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t
∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t ∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2 ∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2 ∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2 解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝ ∴AM＝+4＝∴点E坐标为（
，EN＝4﹣，）
∴直线OE的函数表达式为y＝x．
2．如图，已知A（﹣2，0），B（0，4），将线段AB平移到第一象限得线段A′B′，点A′的横坐标为5，若作直线A′B′交x轴于点C（4，0）． （1）求线段AB所在直线的解析式；
（2）直线AB上一点P（m，n），求出m、n之间的数量关系； （3）若点Q在y轴上，求QA′+QB′的取值范围．
解：（1）设线段AB所在直线的解析式为y＝kx+b， 将A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b中，∴
，
，
∴线段AB所在直线的解析式为y＝2x+4； （2）由（1）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∵点P（m，n）在直线AB上， ∴n＝2m+4；
（3）如图，由（1）知，直线AB的解析式为y＝2x+4， 由平移设，直线A'B'的解析式为y＝2x+b'， ∵点C（4，0）在直线A'B'上， ∴2×4+b'＝0， ∴b'＝﹣8，
∴直线A'B'的解析式为y＝2x﹣8， ∵点A′的横坐标为5， ∴点A'（5，2）， ∵A（﹣2，0），
∴点A'是点A向右移动5﹣（﹣2）＝7个单位，再向上平移2个单位所得， ∴点B'也是向右移动5﹣（﹣2）＝7个单位，再向上平移2个单位所得， ∵B（0，4）， ∴B'（7，6），
作点A'关于y轴的对称点D（﹣5，2），
连接B'D，交y轴于Q，此时，QA'+QB'最小＝B'D＝∴QA'+QB'≥4
．
＝4
，
3．如图，在直角坐标系中，B（0，4），D（5，0），一次函数y＝
的图象过C（8，n），与x轴交于
A点．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由．
解： （1）证明： 当x＝8时，n＝∴点C（8，4） ∵点B（0，4） ∴BC＝8，BC∥x轴 当y＝0时，0＝
×8+
＝4
x+，解得x＝﹣3
∴点A坐标为（﹣3，0） ∴AD＝5﹣（﹣3）＝8 ∵AD∥BC，AD＝8
∴四边形ABCD为平行四边形
（2）由题意可知；AB＝A1B1＝5，∠AOB＝∠A1OB1＝90° ①△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，成四边形OA1B1D，如图1
2024年数学中考考前冲刺提分训练：一次函数(附解析)
