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第17讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
题型一| 圆锥曲线的定义及其标准方程
y2
(1)设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0 b2 的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． (2)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别 94为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________. 322 (1)x＋y＝1 (2)12 2 [(1)不妨设点A在第一象限，∵AF2⊥x轴，∴A(c，b)(其中c＝1－b0 2 2 2, x2y2 b?y25cb?5c22 又∵AF1＝3F1B，由AF1＝3F1B得B?－，－?，代入x＋2＝1得＋2＝1，又c＝1 3?b99b?3 222 －b，∴b＝. 3 322 故椭圆E的方程为x＋y＝1. 2 (2)根据已知条件画出图形，如图．设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连结PF1， →→ 2224 PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，∴AN＋BN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2) ＝2×6＝12.] 【名师点评】 1.圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．定型就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． 2．数形结合，画出图形．根据椭圆的定义及几何性质求解． 1．在平面直角坐标系xOy中，已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值 4－m2＋m范围为________． (－2,4) [由题意可知(4－m)(2＋m)>0，解得－2 x2y2 x2y22 2．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线yab＝43x的焦点重合，则该双曲线的方程为________． bbx－＝1 [由双曲线的方程得其渐近线方程为y＝x，则＝2，b＝2a，又抛物线 2aa2 y2 的焦点为(3，0)，则双曲 1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 线的右焦点为(3，0)，即c＝3，可解得a＝1，b＝2，故双曲线的方程为x－＝ 21.] 3．如图17－1，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a 图17－1 2＋1 [∵正方形ABCD的正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点， 2 2 y2 ba????∴C?，－a?，F?＋b，b?. ?2??2? 又∵点C，F在抛物线y＝2px(p>0)上， 2 aaa＝pa，??∴?2 ?a＋b?，b＝2p?2????? 2 解得＝2＋1.] ba题型二| 圆锥曲线的几何性质 (1)在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线 12 方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 2________． 1xy(2)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M2ab是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． (1)y＝±3x (2) 2 [(1)∵抛物线的焦点为(－1,0)，∴a＝1. 2 2 2 a21 又＝，∴c＝2，b＝3. c2 从而双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x. ba?? (2)设A(x，y)，B(x，y)，则?xy??a＋b＝1， 1 1 2 2 2 22 222 x2y211 2＋2＝1，ab ∴ x1－x2 a2 x1＋x2 ＋ y1－y2 b2y1＋y2 ＝0， y1－y2b2x1＋x2∴＝－2·. x1－x2ay1＋y2 2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ∵ y1－y21 ＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， x1－x22 b21∴－2＝－， a2 ∴a＝2b.又∵b＝a－c， ∴a＝2(a－c)，∴a＝2c，∴＝2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ca2.] 2 【名师点评】 1.两类离心率的求法：一是利用定义、方程、性质求出a，c，进而求e；二是运用条件构建关于a，c的齐次方程，变形求e. 2．两类离心率的变形应用： c2b2b2 (1)椭圆的离心率e：e＝2＝1－2，＝1－e； aaa2 c2b2b2 (2)双曲线的离心率e：e＝2＝1＋2，＝e－1. aaa2 x2y25 1．已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 ab2 ________． 【导学号：】 1bc5c5a＋by＝±x [双曲线C的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝＝，所以2＝＝2，2aa2a4a2 2 2 b21 ＝， a24 b11即＝，故渐近线方程为y＝±x.] a22 2．(2016·苏北三市三模)已知点F为抛物线y＝4x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为________． 4 [由题意可知F(1,0)，又由抛物线的定义可知 3 2 AF＝xA＋1，又AF＝5，故xA＝4. ∴yA＝4(yA＝－4舍去)． 4－04 ∴kAF＝＝.] 4－13 x2y22 3．双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝2px(p>0)相交于A，B两点，公共弦ABab恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为________． ??2＋1 [抛物线的焦点为F?，0?，且c＝，所以p＝2c.根据对称性可知公共弦AB⊥ 2?2? 3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. pp文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. pp?p?x轴，且AB的方程为x＝，当x＝时，yA＝p，所以A?，p?.又因为双曲线左焦点F1的坐 2 2 ?2? ??标为?－，0?，所以AF1＝ ?2? ?－p－p?2＋p2＝2p，又AF＝p，所以2p－p＝2a，即(2－1)×2c＝2a，所以c＝?22?a?? 12－1 ＝2＋1.] 题型三| 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)设F为抛物线C：y＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于 2 pA，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________． (2)已知双曲线x－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物 3线y＝18x上，则实数m的值为________． 93?3?(1) (2)0或－8 [(1)由已知得焦点坐标为F?，0?，因此直线AB的方程为y＝43?4? 2 2 y2 ?x－3?，即4x－43y－3＝0. ?4??? 法一：联立抛物线方程化简得4y－123y－9＝0， 故|yA－yB|＝ 2 yA＋yB2 －4yAyB＝6. 1139 因此S△OAB＝OF|yA－yB|＝××6＝. 2244 219212 法二：联立方程得x－x＋＝0，故xA＋xB＝. 2162213 根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝＋＝12. 22同时原点到直线AB的距离为h＝|－3|4＋－43 2 319＝，因此S△OAB＝AB·h＝. 2824 2 1 ??x－3＝1，① (2)设M(x，y)，N(x，y)，MN的中点为P(x，y)，则?yx－??3＝1，② 1 1 2 2 0 0 22 22 y21 由①－②得x－x＝2 122 2 y21－y2 3 ， 1 即(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)， 3 4文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 1y1－y2 也即2x0＝··2y0 3x1－x21 ＝·(－1)·2y0， 3∴y0＝－3x0，③ 又P在直线y＝x＋m上， ∴y0＝x0＋m，④ ?m3?由③④解得P?－，m?， ?44? 代入抛物线y＝18x得， 92?m?m＝18·?－?，∴m＝0或－8. 16?4?经检验m＝0或－8均符合题意．] 【名师点评】 与直线和圆锥曲线相交的有关问题的求解策略 在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法． 2 x2y2 1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，右焦点为F， ab右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________． 3abbcbbc [依题意，d2＝－c＝.又BF＝c2＋b2＝a，所以d1＝.由已知可得＝6·，3ccaca所以6c＝ab，即6c＝a(a－c)，整理可得a＝3c，所以离心率e＝＝ 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ca3.] 3 →→ 2．已知点A(1,0)，椭圆C：＋＝1，过点A作直线交椭圆C于P，Q两点，AP＝2QA， 43 x2y2 则直线PQ的斜率为________． →→ 5 ± [设Q(x0，y0)，P(xP，yP)，则AP＝(xP－1，yP)，QA＝(1－x0，－y0)， 2→→??xP－1＝21－x0，由AP＝2QA，得? ?yP＝－2y0，? ??xP＝3－2x0， ∴? ?yP＝－2y0，? 5文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题5解析几何第17讲圆锥曲线的定义、方程与性质教师用书理
