初中数学竞赛专项训练(1)
1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。 A. 111
B. 1000
C. 1001
D. 1111
解：依题意设六位数为abcabc，则abcabc＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10＋c＝a×102（103＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c）（103＋1）＝1001（a×103＋b×10＋c），而a×103＋b×10＋c是整数，所以能被1001整除。故选C 方法二：代入法
2、若S?1111????198019812001，则S的整数部分是____________________
解：因1981、1982……2001均大于1980，所以S?122?11980?1980?90，又1980、221981……2000均小于2001，所以S?122?12001?200121?90，从而知S的整数2222部分为90。
3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤100）学生进来，凡号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。
解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，
所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共10盏灯是亮的。
4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店
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把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元
解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。 应选C
5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么a?b?c?abc的所有可能的
|a||b||c||abc|值为（ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。 ①当a，b，c为两正一负时：
D. 0或-2
abcabcabcabc???1，??1所以????0； |a||b||c||abc||a||b||c||abc|②当a，b，c为两负一正时：
abcabcabcabc????1，?1所以????0 |a||b||c||abc||a||b||c||abc|由①②知应选A
6、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则值为 A. 1
2abcabc???所有可能的值为0。 |a||b||c||abc|ca的?a?bc?b（ ）
B. D.
2 2
B c A b a C C. 1
2
解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，由于∠B＝60°，所以DB＝
3CC。，AD＝22在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－
C2232
）＝b－C，整理得a2＋c2=b224cac2?cb?a2?aba2?c2?ab?bc????1 ＋ac，从而有
a?bc?b(a?b)(c?b)ac?ab?bc?b22 / 36
应选C
7、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则 A.
a?b的值为 a?bC. 2
D. 3
（ ）
3
B.
6
解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于a a?b?3。 a?b 应选A 8.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1解：?a2?b2?c2?ab?bc?ca?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]，2 又a?b??1，b?c??1，c?a?2 1 ?原式?[(?1)2?(?1)2?22]?32a2b2c29、已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式的值是 ??bccaab A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （ ） 解：原式??(b?c)?a?(a?c)?b?(a?b)?c??bcacabaabbcc ??(?)?(?)?(?) bcacababc ????3abc10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为＿＿＿＿＿ 解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得d?100p 100?p11、已知实数x、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________ 3 / 36
历年初中数学竞赛试题精选含解答
