第二章 函数概念与基本初等函数
§2.1 映射、函数、反函数
一、知识导学
1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则
的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)
2.函数： 设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合 B的一个函数，记作 y?f(x).
其中所有的输入值x组成的集合A称为函数y?f(x)定义域.
对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数 叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
，对于集合A中的任何
一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合 B
二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识 (1)
与
是不同的，即
与
上有序的.或者说：映射是有方向的，
(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
(3)集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合. 2.对函数概念的认识
（1）对函数符号 f(x)的理解知道 y=f(x)与 f(x)的含义是一样的，它们都表示
函数，其中
是自变量，f(x)是函数值，连接的纽带是法则
.
是单值对应.
是
的
(2)注意定义中的集合 A，B都是非空的数集,而不能是其他集合； （3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法. 3.对反函数概念的认识
（1）函数y=f(x)只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；
（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲
[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；
（2）从M到N的映射满足 f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数. 错解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有
?a??2?a??2?a?0?a?0?a?2?a?2?????? ?b?0,?b?2,?b?2,?b??2,?b?0,?b??2，共6个映射 ?c?2?c?2?c??2?c?2?c??2?c?0???????a?2? (2)由（1）得满足条件的映射仅有?b?0一种情况
?c??2?错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清 正解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 一共有27个映射
?a?0?a?2?a?2?a?2????（2）符合条件的映射共有4个,?b??2,?b??2,?b?0,?b?0,
?c??2?c??2?c??2?c?0????[例2]已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x?1)的定义域 错解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0?x?1，?1?x?1?2 ∴f(x?1)的定义域是[1，2]
错因：对函数定义域理解不透，不明白f(x)与f(u(x))定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：f(x)中x取值的范围与f(u(x))中式子u(x)的取值范围一致就好了. 正解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0?x?1∴f(x?1)满足?0?x?1?1
?1?x?0，∴f(x?1)的定义域是[－1，0]
?x?5[例3]已知：x?N,f(x)???f(x?2)*(x?6)，求f(3).
(x?6)错解：∵ f(x)???x?5?f(x?2)(x?6)，∴f(x?2)?(x?2)?5?x?3
(x?6)故f(x)???x?5?x?3(x?6)，∴f(3)＝3－3＝0.
(x?6)错因：没有理解分段函数的意义，f(3)的自变量是3，应代入f(x?2)中去，而不是代入x－5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.
?x?5正解：∵ f(x)???f(x?2)(x?6)，
(x?6)∴f(3)＝f(3?2)?f(5)＝f(5?2)?f(7)＝7-5＝2
[例4]已知f(x)的反函数是f?1(x)，如果f(x)与f?1(x)的图像有交点，那么交点必在直线y?x上，判断此命题是否正确？
错解：正确
错因：对互为反函数的图像关于直线y?x对称这一性质理解不深，比如函数
11111（，）不在直线y?x上，由此可以y?()x与y?log1x的图像的交点中，点(,),24421616说明“两互为反函数图像的交点必在直线y?x上”是不正确的. [例5]求函数y?f(x)?x2?4x?6，x?[1,5)的值域. 错解：
f(1)?12?4?1?6?3,f(5)?52?4?5?6?11
又x?[1,5)，?f(x)的值域是?311，?
错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x值都有唯一的y值与之对应，错误地理解为x
的两端点时函数值就是y的取值范围了.
正解：配方，得y?f(x)?x?4x?6?(x?2)?2
∵x?[1,5)，对称轴是x?2∴当x?2时，函数取最小值为f(2)?2，
22f(x)?f(5)?11 ?f(x)的值域是?211，?
?1[例6]已知f(x)?3x?4，求函数f(x?1)的解析式.
错解：由已知得f(x?1)?3(x?1)?4?3x?7
?y?3x?7,即x??1y?7x?7?1，∴f(x?1)? 33错因：将函数f(x?1)错误地认为是f(x?1)的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻
所致，实际上f(x?1)与f?1(x?1)并不是互为反函数，一般地应该由f(x)先求f?1(x)，再去得到f?1(x?1).
正解：因为f(x)?3x?4的反函数为f?1(x)＝所以f?1(x?1)＝
x?4， 3(x?1)?4x?31?＝x?1 333[例7]根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知f(x)是二次函数，若f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1，求f(x). （2）已知f(x?1)?x?2x，求f(x) （3）若f(x)满足f(x)?2f()?ax,求f(x) 解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解
设f(x)＝ax2?bx?c1x(a?0)由于f(0)?0得f(x)?ax2?bx，
又由f(x?1)?f(x)?x?1，∴a(x?1)2?b(x?1)?ax2?bx?x?1 即 ax2?(2a?b)x?a?b?ax2?(b?1)x?1
?2a?b?b?1???a?0?a?b?1??a?b?1121 因此：f(x)＝x?x 222(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设u?x?1(x?0),?x?u?1(u?1)?f(u)?(u?1)2?2(u?1)?u2?12∴f(x)＝x?1 （x?1）
(u?1)
（3）由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解
111代x可得：f()?2f(x)?a, xxx1与 f(x)?2f()?ax
x12aax? 联列可消去f()得：f(x)＝.
x3x3点评：求函数解析式（1）若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g(x)] 用
表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. [例8] 已知3x?2y?6x，试求x?y的最大值.
分析：要求x?y的最大值，由已知条件很快将x?y变为一元二次函数
2222222219f(x)??(x?3)2?,然后求极值点的x值，联系到y2?0，这一条件，既快又准地求
22出最大值. 解 由 3x2?2y2?6x得
3y2??x2?3x.2
3?y2?0,??x2?3x?0,?0?x?2.23219x?3x??(x?3)2?, 22219?当x?2时，x2?y2有最大值，最大值为?(2?3)2??4.
22又x?y?x?222点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
32x?3x, 2319?x2?y2?x2?x2?3x??(x?3)2?,
2229?当x?3时，x2?y2取最大值，最大值为
222由 3x?2y?6x得 y??2这种解法由于忽略了y2?0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. [例9]设f(x)是R上的函数，且满足f(0)?1,并且对任意的实数x,y都有
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)，求f(x)的表达式.
解法一：由f(0)?1,f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)，设x?y， 得f(0)?f(x)?x(2x?x?1)，所以f(x)＝x?x?1 解法二：令x?0，得f(0?y)?f(0)?y(?y?1) 即f(?y)?1?y(?y?1)
又将?y用x代换到上式中得f(x)＝x?x?1
点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 四、典型习题导练
1. 已知函数f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的个数是（ ）
22
高中必修1-5错误解题分析系列-《2.1 映射、函数、反函数》
