_
设闭区间列??an,bn??具有如下性质：?i??an,bn???an?1,bn?1?，n?1,2,定义1?ii?lim?bn?an??0,n??nn;则称??an,bn??为闭区间，或简称区间套.?区间套定理?若??a,b??是一个区间套，则在实数系中定理7.1存在唯一的一点?，使得???an,bn?，n?1,2,an???bn,n?1,2,若???an,bn??n?1,2,.,即?是区间套??an,bn??所确定的点，则推论对任给的??0,存在N?0,使得当n?N时有?an,bn??U??；??.定义2定义2'设S为数轴上的点集，?为定点?它可以属于S，也可以不属于S?.若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称?为点S的一个聚点.对于点集S，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即U??；??S??，则称?为S的一个聚点.''
定义2若存在各项互异的收敛数列?xn??S,则其极限limxn??称为S的一个聚点.n??定理7.2?维尔斯特拉斯聚点定理?实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.推论?致密性定理?有界数列必含有收敛子列.设S为数轴上的点集，H为开区间的集合?即H的每一个元素都是形如??,??的开区间?.定义3若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限?有限?的，则称H为S的一个无限开覆盖?有限开覆盖?.?海涅—博雷尔有限覆盖定理?设H为闭区间?a,b?的一个定理7.3?无限?开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖?a,b?.
_
设函数f与F在区间I上都有定义.原函数若F'?x??f?x?,x?I,则称F为f在区间I上的一个原函数.定理8.1若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F'?x??f?x?,x?I.设F是f在区间I上的一个原函数，则定理8.2?i?F?C也是f在I上的原函数，其中C为任一常量函数；
?ii?f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.不定积分函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，记作?f?x?dx.若函数f与g在区间I上都存在原函数，k1、k2为两个定理8.3任意常数，则k1f?k2g在I上也存在原函数，且?kf?x??kg?x???dx?k?f?x?dx?k?g?x?dx.??1212设g?u?在??,??上有定义，u???x?在?a,b?上可导，且????x???，x??a,b?,并记f?x??g???x???'?x?,x??a,b?.?i?若g?u?在??,??上存在原函数G?u?，则f?x?在?a,b?上换元积分法 也存在原函数F?x?,F?x??G???x???C,即'?f?x?dx??g???x????x?dx??g?u?du?G?u??C?G???x???C.?ii?又若?'?x??0,x??a,b?,则?i?可逆，即'?1?g?u?du??g???x????x?dx??f?x?dx?F?x??C?F???u???C.若u?x?和v?x?可导，不定积分?u'?x?v?x?dx存在，分部积分则?u?x?v'?x?dx也存在，并有''uxvxdx=uxvx?u??????x?v?x?dx.????? _
有两个多项式函数的商所表示的函数.P?x??0xn??1xn?1?R?x???Q?x??0xm??1xm?1?有理函数m?n为真分式，m?n为假分式.??n.??mn,m为非负整数，?，?为常数，?0?0，?0?0.
_
设闭区间?a,b?上有n?1个点，依次为a?x0?x1?x2?定义1?xn?1?xn?b,,n.它们把?a,b?分成n个小区间?i??xi?1,xi?,i?1,2,这些分点或这些闭子区间构成对?a,b?的一个分割，记为T=?x0,x1,x2，,xn?1,xn?或??0,?1,?2，,?n?1,?n?，小区间?i的长度为?xi?xi?xi?1,并记T=max??xi?,称为分割T的模.1?i?n设f是定义在?a,b?上的一个函数.对于?a,b?的一个分割定积分 定义2T???0,?1,?2，,?n?1,?n?，任取点?i??i,i?1,2,niii?1,n,并作和式?f????x,称此和式为函数f在?a,b?上的一个积分和，也称黎曼和.设f是定义在?a,b?上的一个函数.J是一个确定的实数.若对任给的正数?，总存在某一正数?，使得对?a,b?的任何分割T，定义2以及在其上任意选取的点集??i?,只要T＜?，就有n
?f????x?Jiii?1??,则称函数f在区间?a,b?上可积或黎曼可积；b数J称为f在?a,b?上的定积分或黎曼积分，记作J??f?x?dx.a若函数f在?a,b?上连续，且存在原函数F，即F'?x??f?x?,b牛顿公式x??a,b?,则f在?a,b?上可积，且?f?x?dx?F?b??F?a?.a莱布尼茨b上式即为牛顿—莱布尼茨，也写作?f?x?dx=Fba.a定理9.2若函数f在?a,b?上可积，则f在?a,b?上必定有界.可积定理9.3任给?＞０，总存在相应的一个分割T，使得条件S?T??s?T???.函数f在?a,b?上可积的充要条件：定理9.3'任给?＞０，总存在相应的某一个分割T，使得S?T??s?T?=?wi?xi??wi?xi??.i?1Tn?可积准则?函数f在?a,b?上可积的充要条件是： _
定理9.4连续可积.定理9.5只有有限个间断点的有界函数可积.定理9.6单调函数可积.定积分的基本性质性质1、f可积，k是常数，则kf可积.且?kf?x?dx?k?f?x?dx.aabb性质2、f,g都可积，则f?g也可积.且??f?x??g?x???dx=?af?x?dx??a??g?x?dx??.a?性质3、f,g都可积，则f?g也可积.性质4、f在?a,b?上可积的充要条件是：任给c??a,b?,f在?a,c?,?c,b?上都可积..性质5、设f可积，若f?0,则?f?x?dx?0.abbbb性质6、f可积，则f也可积.且?f?x?dx??f?x?dx.aabb定理9.7?积分第一中值定理?若f在?a,b?上连续，则至少存在一点 ???a,b?,使得?f?x?dx=f????b?a?.ab定理9.8?推广积分第一中值定理?若f与g在?a,b?上连续，且g?x?在?a,b?上不变号， 则至少存在一点???a,b?,使得?f?x?g?x?dx=f????g?x?dx.aabb原函数存在定理.若f在?a,b?上连续，则由?1?式所定义的函数定理9.10?在?a,b?上处处可导，且?'?x??xadxf?t?dt?f?x?,x??a,b?.?adx其中?1?式是??x???f?t?dt,x??a,b?，变限积分之变上限.微积分基本原理.定理9.9f在?a,b?上可积，则??x???f?t?dt,x??a,b?连续.ax
?第二积分中值定理?设f在?a,b?上可积.?i?若函数g在?a,b?上减，且g?x??0,则存在???a,b?,使得定理9.11?f?x?g?x?dx?g?a??f?x?dx;aab?
?ii?若函数g在?a,b?上增，且g?x??0,则存在???a,b?,使得?推论baf?x?g?x?dx?g?b??f?x?dx.?b设函数f在?a,b?上可积.若g为单调函数，则存在???a,b?,使得?f?x?g?x?dx?g?a??f?x?dx?g?b??g?x?dx;aab?b
?
数学分析定义,定理,推理一览表
