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若函数f在闭区间?a,b?上严格单调并连续，定理4.8则反函数f?1在其定义域??f?a?,f?b???或??f?b?,f?a???上连续.定义2.?一致连续?设函数f为定义在I上的函数.若对任给的??0,存在?=?????0,使得对任何x',x''?I，只要x'?x''??,就有f?x'??f?x''???，则称函数f在区间I上一致连续.定理三?一致连续性定理?若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上一致连续.? 初等函数的连续性定理4.10设a?0,?,?为任意实数，则有a??a??a???,?a???a??.定理4.11指数函数ax?a?0?在R上是连续的.定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.定理4.13任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.
导数和微分
设函数y=f?x?在点x0的某邻域内有定义，若极限定义1导数：limx?x0f?x??f?x0?存在，则称函数f在点x0处可导，x?x0并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'?x0?.?y?f'?x0?是当?x有限增量公式：?x?0时的无穷小量，于是???x=o??x?，即设f?x?在点x0可导，那么?=
?y=f'?x0??x?o??x?.该式即为有限增量公式.定理5.1 若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.
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定义2单侧导数
设函数y=f?x?在点x0的某右邻域?x0,x0???上有定义，若f?x0??x??f?x0??y=lim??0??x???存在?x?0?x?x?0?x，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f?'?x0?.右极限lim?类似的可定义左导数f?x0??x??f?x0??y=lim??0??x???.?x?0?x?x?0?x左导数和右导数统称为单侧导数.lim?若函数y=f?x?在点x0的某右邻域上有定义，则定理5.2f'?x0?存在的充要条件是f?'?x0?和f?'?x0?都存在，且f?'?x0?=f?'?x0?.
导函数
若函数在区间I上每一点都可导?对区间端点，仅考虑单侧极限?，则称f为I上的可导函数。此时对每一个x?I,都有f的一个导数f'?x??或单侧导数?与之对应.称f在I上的导函数，也简称为导数.记作f',y',或f?x??x??f?x?dydy，即=lim,x?I.dxdx?x?0?x
导数的几何意义
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f?x?在点x?x0的切线斜率k,正是割线斜率在x?x0时的极限，即k?limx?x0f?x??f?x0?.由导数的定义，k=f'?x?,所以曲线y?f?x?x?x0在点?x0,y0?的切线方程是y?y0?f'?x0??x?x0?.这就是说：函数f在点x0的导数f'?x0?是曲线y=f?x?在点?x0,y0?处的切线斜率.若函数f在点x0的某邻域U?x0?内对一切x?U?x0?有定义3f?x0??f?x??f?x0??f?x??，则称函数f在点x0取得极大?小?值，称点x0为极大?小?值点.极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.
定理5.3?费马定理?设函数f在点x0的某邻域内定义，且在点x0可导.若点x0为f的极值点，则必有f'?x0??0.满足方程f'?x0??0的稳定点?驻点?.取得极值的点是驻点或不可导点，但驻点不一定是极值点.若函数f在?a,b?上可导，且f?'?a??f?'?b?,k为定理5.4?达布Darboux?介于f?'?a?，f?'?b?之间任一实数，则至少存在一点???a,b?,使得f'????k.又称导函数的介值定理.
求导法则
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?????????四则运算???????若函数u?x?和??x?在点?x0?可导，则函数定理5.5f?x??u?x????x?在点?x0?也可导，且f'?x0??u'?x0???'?x0?.若函数u?x?和??x?在点?x0?可导，则函数定理5.6f?x??u?x???x?在点?x0?也可导，且f'?x0??u'?x0???x0??u?x0??'?x0?.推理若函数u?x?在点?x0?可导，c为常数,
?cu?x0???cu'?x0?.若函数u?x?和??x?在点?x0?可导，且??x??0，'定理5.7则函数f?x??f'?x0??u?x?在点?x0?也可导，且??x?u'?x0???x0??u?x0??'?x0????x??2.反函数的导数
设y?f?x?为x???y?的反函数，若??y?在点y0的某定理5.8邻域内连续，严格单调且?'?y0??0,则f?x?在点x0
?x0???y0??可导，且f'?x0??1.?'?y0?复合函数的导数
?f?x?在点x0可导的充要条件是：在x0的某邻域U?x0?内，???引理?存在一个在点x0连续的函数H?x?使得???'fx?fx=Hxx?x,从而fx?Hx.????????????0000???设u=??x?在点x0可导，y?f?u?在点u0=??x0?可导，???定理5.8?则复合函数f?在点x0可导，且???'''''????f???x0??f?u0???x0??f???x0????x0?.?
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基本求导法则
1.?u?v??u'?v'2.?uv??u'v?uv',?cu??cu'''v'?u?uv?uv?1?3.???,????22vv?v??v?dy14.反函数导数=.dxdxdydydydu5.复合函数导数=?.dxdudx'''''
基本初等函数导数公式
1.?c??0???2.?x????x??1???''3.?sinx??cosx,?cosx???sinx,''?tanx??sec2x,?cotx???csc2x,''?secx??secxtanx,?cscx???cscxcotx.5.?ax??axlna,?ex??ex,?logax??'''''11',?lnx??,xlnax?1,x?0?'1?x?.?lnx???1?,x?0x??x1?1''6.?arcsinx??,?arccosx??,221?x1?x1?1'',arccotx?.?arctanx????1?x21?x2
参变量函数的导数
数学分析定义,定理,推理一览表
