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1.若limx?x0f?x??0,则称当x?x0时f为g的高阶无穷小量g?x?f?x??L,g?x?
记作f?x??o?g?x???x?x0?.2.若存在正数K和L，使得在某Uo?x0?上有K?则称f与g为当x?x0时的同阶无穷小量.特别的当x?x0limf?x??c?0时，f与g必为同阶无穷小量.g?x?x?x03.若limf?x?=1，则称f与g为当x?x0时的等价无穷小量.g?x?记作f?x?~g?x??x?x0?.
函数极限存在的条件
定理3.8（归结原则or海涅定理）设f在Uo?x0;?'?内有定义.limf?x?存在的充要条件是：对任何含x?x0于Uo?x0;?'?且以x0为极限的数列?xn?,极限limf?xn?都存在且相等.x??简述：limf?x?=A?对任何xn?x0(n??)有limf?xn??A.x?x0x?x0o设函数f在点x0的某空心右邻域U??x0?有定义.lim?f?x?=A的x?x0o定理3.9充要条件是：对任何以x0为极限的递减数列?xn??U??x0?,有limf?xn??A.x??o定理3.10设f为定义在U??x0?上的单调有界函数，则右极限lim?f?x?存在. x?x0定理3.11（柯西cauchy准则）设函数f在Uo?x0;?'?内有定义.limf?x?存在的充要条件是：任给??0,x?x0存在正数????'?,使得对任何x',x''?Uo?x0;??有f?x'??f?x''???.\设函数f在Uo?x0;?'?内有定义.limf?x?不存在的充要条件是：存在?0?0,x?x0对任意正数????'?,总可找到x',x''?Uo?x0;??使得f?x'??f?x''???0.\两个重要极限
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sinxlim?1x?0x?1?lim?1???e x???x?
x设f在某Uo?x0?内有定义，若limf?x??0,x?x0无穷小量：则称f为当x?x0时的无穷小量.无穷小量的和、差、积仍为无穷小量.无穷小量与有界量的积为无穷小量.
常见的几个等价无穷小量
有界量：若函数g在某Uo?x0?内有界，则称g为当x?x0时的有界量.
1.ex?1~x?x?0?2.?1?x??1~?x?x?0?x23.1?cosx?x?0?2自赖性：??x?~??x??x?x0?对称性：??x?~??x????x?~??x??x?x0?传递性：??x?~??x?，??x?~??x????x?~??x??x?x0?? _
定理3.12（等价无穷小量在极限问题中的作用）设函数f,g,h在Uo?x0?内有定义，且有f?x?~g?x??x?x0?.(i)若limf?x?h?x??A,则limg?x?h?x??A;x?x0x?x0 f?x?g?x??B，则lim?B.?ii?若xlim?x0h?x?x?x0h?x?无穷大量设函数f在某Uo?x0?内有定义.若对任给的G?0,存在??0,使得当x?Uo?x0;????Uo?x0??时有f?x??G,则称函数f当x?x0时有非常极限?，记作limf?x???.x?x0对于自变量x趋于某种趋向?或n??时?，所有以?，+?或-?为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量.定理3.13（i）设f在Uo?x0?内有定义且不等于0.若f为x?x01为x?x0时的无穷大量.f1（ii）若g为x?x0时的无穷大量，则为x?x0时的无穷小量.g 时的无穷小量，则
函数的连续
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函数在点的连续1.设函数f在某Uo?x0?内有定义.若limf?x??f?x0?,x?x0则称f在点x0连续；也可表述为：若对任给的??0,存在??0,使得当x?x0??时有f?x??f?x0???,则称f在点x0连续.o2.设函数f在某U??x0??U?o?x0??内有定义.若?，lim?f?x??f?x0??limfx?fx?????x?x?0?x?x0?0?则称f在点x0右（左）连续.定理4.1函数f在点x0连续的充要条件是：f在点x0即是右连续，又是左连续.o间断点及其分类3.设函数f在某U或不连续点.4.可去间断点若limf?x??A,f在点x0无定义，或有定义x?x0?x0?内有定义.若f在点x0无定义，
或f在点x0有定义不连续，则称x0为函数f的间断点但f?x0??A,则称x0为函数f的可去间断点.若函数f在点x0的左右极限都存在，但5.跳跃间断点lim?f?x??lim?f?x?，则称x0为函数f的x?x0x?x0跳跃间断点.6.以上两种间断点统称为第一类间断点，其他所有形式的间断点统称为第二类间断点.
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区间上的连续函数
若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上的连续是指左连续或右连续.若函数f在区间?a,b?上仅有有限个第一类间断点，则称f在?a,b?上分段连续.
连续函数的性质
定理4.2（局部有界性）若函数f在点x0连续，则f在某U?x0?内有界.若函数f在点x0连续，且f?x0??0?或?0?,则定理4.3（局部保号性）对任何正数r?f?x0??或r??f?x0??，存在某U?x0?,使得对一切x?U?x0?有f?x??r?f?x???r?.
定理4.4（四则运算）两个函数连续，则他们加减乘除之后依旧连续.定理4.5若函数f在点x0连续，g在点u0连续,u0?f?x0?,则复合函数g。f在点x0连续.设f为定义在数集D上的函数.若存在x0?D,使得对一定义1.切x?D,有f?x0??f?x??f?x0??f?x??,则称f在D上有最大?最小值?，并称f?x0?为f在D上有最大?最小值?.定理4.6?最大、最小值定理?推论?有界性定理?若函数f在闭区间?a,b?上连续，则称f在?a,b?上有最大值与最小值.若函数f在闭区间?a,b?上连续，则f在?a,b?上有界.设函数f在闭区间?a,b?上连续，且f?a??f?b?,若?为介于f?a?与f?b?之间的任何实数
定理4.7?介值性定理??f?a????f?b?或f?a????f?b??，则至少存在一点x0??a,b?,使得f?x0???.设函数f在闭区间?a,b?上连续，且f?a?与f?b?异号,推论?根的存在定理?则至少存在一点x0??a,b?,使得f?x0??0，即方程f?x??0在?a,b?内至少有一个根.
数学分析定义,定理,推理一览表
