课时分层作业(十七) 平面向量基本定理
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．以下选项中，a与b不一定共线的是( ) A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1 21
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
510C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1 D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2 C [只有C选项不一定共线．] 2.如图所示，向量a－b＝( ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2
→
C [a－b＝AB＝e1－3e2.]
3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是( )
A．λ1＝1 C．λ1＝3
B．λ1＝2 D．λ1＝4
B [b＝4e1＋2e2＝2(2e1＋e2)，因为a与b共线，所以λ1＝2.]
→→→
4.如图所示，?ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE＝( )
1
A．a－b
21C．a＋b 2
D [因为E是BC的中点， →1→1→1所以CE＝CB＝－AD＝－b，
222→→→1所以DE＝DC＋CE＝a－b.] 1
B．a＋b 21
D．a－b 2
2
5．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于( )
A．a＋λb C．λa＋b
→→
D [∵P1P＝λPP2， →→→→∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)， →→→
∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，
→1→λ→1λ∴OP＝OP1＋OP2＝a＋b.]
1＋λ1＋λ1＋λ1＋λ二、填空题
6．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. ②③ [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．] 7．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________.
3a－2b [设c＝λ a＋μ b，
于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)， 整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2， 因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，
?λ＋2μ＝－1，?
所以?
??2λ－μ＝8，
→→→→→
B．λa＋(1－λ)b D.
1λ
a＋b 1＋λ1＋λ
解得λ＝3，μ＝－2，
所以c＝3a－2b.]
8．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
?－∞，1?∪?1，＋∞? [当a∥b时，设a＝m b， ????2??2??
则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)， 即e1＋2e2＝mλe1＋m e2，
??1＝mλ，所以?
??2＝m，
11
解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
22
又a与b是一组基底，
1
所以a与b不共线，所以λ≠.] 2三、解答题
→→
9.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b，用a、
b表示AD、AE、AF.
→→→
→→→→1→111
[解] AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；
2222
→→→→1→→→→→2→12121
AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a33333332
＋b. 3
10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c； (2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解] (1)设c＝λa＋μb，则3e1＋4e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
??λ＋μ＝3，所以?
?3μ－2λ＝4.?
??λ＝1，
解得?
?μ＝2.?
所以c＝a＋2b.
(2)4e1－3e2＝λa＋μb＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，
??λ＋μ＝4，
所以?
?3μ－2λ＝－3.?
解得λ＝3，μ＝1.
[等级过关练]
→→→
1．设O，A，B，M为平面上四点，OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)，则( ) A．点M在线段AB上 C．点A在线段BM上
B．点B在线段AM上 D．O，A，B，M四点共线
→→→
A [因为OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)， →→→→
所以OM－OB＝λ(OA－OB)， →→所以BM＝λBA， 故点M在线段AB上．]
→→→→→→
2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，→→→→
则AD＋BE＋CF与BC( )
A．反向平行 C．互相垂直 A [如图．
→→→→1→∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，
3→→→→2→BE＝BC＋CE＝BC＋CA，
3→→→→1→CF＝CB＋BF＝CB＋BA，
3→→→∴AD＋BE＋CF
B．同向平行 D．既不平行也不垂直
?→1→??→2→??→1→?＝?AB＋BC?＋?BC＋CA?＋?CB＋BA?
3??3??3??
1→2→1→
＝BC＋CB＝－BC.] 333
→→→3.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.
→→4
[设AB＝a，AD＝b， 3
→1→1
则AE＝a＋b，AF＝a＋b，
22
→→2→→2又∵AC＝a＋b，∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，
334
∴λ＋μ＝.] 3
→→→
4．设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC的面积为________． →→→1 [如图，以OA，OB为邻边作?OADB，连接OD，则OD＝OA＋OB，结→→→→→合条件OA＋OB＋2OC＝0知，OD＝－2OC，
→→→→
设OD交AB于M，则OD＝2OM，所以OM＝－OC，
111
故O为CM的中点，所以S△AOC＝S△CAM＝S△ABC＝×4＝1.]
244
5.如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥
DC.
[证明] 延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得?ECMB， 由平行四边形法则得 →
EF＝EM＝(EB＋EC)．
→→
由于AB∥DC，所以AB，DC共线且同向，根据共线向量基本定理，存
1→1→→22
→→
在正实数λ，使AB＝λDC.
由三角形法则得
→→→→→→→→
EB＝EA＋AB，EC＝ED＋DC且ED＋EA＝0， →1→→1→→→→∴EF＝(EB＋EC)＝(EA＋AB＋ED＋DC)
221→→1＋λ→
＝(AB＋DC)＝DC， 22→→∴EF∥DC.
由于E，D不共点，∴EF∥AB∥DC.
2024-2024学年高中数学课时分层作业17平面向量基本定理
