大题专项：三角函数、解三角形综合问题
一、解答题
1.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(-5,-5). (1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=13,求cos β的值. 解:(1)由角α的终边过点P(-5,-5), 得sin α=-5,所以sin(α+π)=-sin α=5. (2)由角α的终边过点P(-5,-5),得cos α=-5, 由sin(α+β)=13,得cos(α+β)=±13.
由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-65或cos β=65. 2.在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-7. (1)求A;
(2)求AC边上的高.
解:(1)在△ABC中,∵cos B=-7,∴B∈(2,π),
1
π
1
56
16
5
12
3
4
3
4
43
4
5
3
4
∴sin B=√1-cos2??=
??
4√3. 7??
7
84√37由正弦定理,得sin??=sin???sin??=
, ∴sin A=2.
∵B∈(2,π),∴A∈(0,2),∴A=3.
(2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=2×(-7)+2×
√31
1
4√37
π
π
π
√3=
3√3. 14
如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.
?
3√314
3√33√3,∴AC边上的高为. 22
??2
∵sin C=????,∴h=BC·sin C=7×
=
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3sin??. (1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 解:(1)由题设得2acsin B=3sin??,即2csin B=3sin??. 由正弦定理得2sin Csin B=3sin??. 故sin Bsin C=3.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-2, 即cos(B+C)=-2. 所以B+C=3,故A=3.
由题设得2bcsin A=3sin??,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9, 得b+c=√33.
故△ABC的周长为3+√33.
4.已知函数f(x)=4tan xsin(2-??)cos(??-3)?√3. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间[-4,4]上的单调性. 解:(1)f(x)的定义域为{??|??≠2+??π,??∈Z}. f(x)=4tan xcos xcos(??-3)?√3 =4sin xcos(??-3)?√3 π
π
π
ππ
π
π
1
??2
2π
π
1
1
21
sin??
1
??2
1
??
1
√3sin??)2
=4sin x(2cos??+
?√3
=2sin xcos x+2√3sin2x-√3=sin 2x+√3(1-cos 2x)-√3 =sin 2x-√3cos 2x=2sin(2??-3), 所以,f(x)的最小正周期T=2=π.
(2)令z=2x-3,函数y=2sin z的单调递增区间是[-2+2??π,2+2??π],k∈Z.由-2+2kπ≤2x-π3
π
π
π
π
2ππ
≤2+2kπ,得-12+kπ≤x≤
π
π
ππ5π
+kπ,k∈Z.设A=[-4,4],B={??|-12+??π≤??≤12
ππ
π
π
πππ5π12
+??π,??∈Z},
π
π
易知A∩B=[-12,4].所以,当x∈[-4,4]时,f(x)在区间[-12,4]上单调递增,在区间[-4,-12]上单调递减.
5.已知函数f(x)=√3acos2
????2
+2asin ωx-2a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中
1√3点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.
(1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=
8√3,且x0∈5
(-
1023
,3),求f(x0+1)的值.
1
π
解:(1)由已知可得f(x)=a(2cos????+2sin????)=asin(????+3).
√3∵BC=2=4, ∴T=8,∴ω=8=4.
由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=2BC=2√3. (2)由(1)知f(x0)=2√3sin(4??0+3)=即sin(4??0+3)=5.
π
π
4
π
π
8√3, 5
√32π
π
??
∵x0∈(-
1023
,3),
π
π
ππ
∴4x0+3∈(-2,2),
∴cos(4??0+3)=√1-(5)=5, ∴f(x0+1)=2√3sin(4??0+4+3) =2√3sin[(4??0+3)+4]
=2√3[sin(4??0+3)cos4+cos(4??0+3)sin4] =2√3×(5×
4
√22π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
ππ
423
+5×
3
√2)2
=
7√6. 5
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+b=5,(2a+b)·cos C+c·cos B=0. (1)若△ABC的面积为,求c;
(2)若点D为线段AB的中点,∠ACD=30°,求a,b. 解:(1)∵(2a+b)cos C+ccos B=0,
∴(2sin A+sin B)cos C+sin Ccos B=0, 即2sin Acos C+sin Bcos C+sin Ccos B=0.
∴2sin Acos C+sin(B+C)=0,即2sin Acos C+sin A=0. ∵A∈(0,π),∴sin A≠0.
√32
∴cos C=-2.
∵C∈(0,π),∴sin C=2. ∴S△ABC=2a·bsin C=
11
√3????4√31
=
√3.∴ab=2. 2
在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-ab=25-2=23,∴c=√23. (2)∵cos C=-2,∴C=120°.
又∠ACD=30°,∴∠BCD=90°.
记∠ADC=θ,AD=BD=m,在直角三角形BCD中,a=msin θ. 在△ACD中,sin30°=sin??,
??
??
∴b=2msin θ.∴b=2a. 又a+b=5,
5
10
∴a=3,b=3.
2020高考理科数学大题专项练习：三角函数、解三角形综合问题
