第二章 2.4 平面向量的数量积 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、
夹角
课时分层训练
‖层级一‖|学业水平达标|
1．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为( ) A．3 C．－3
B．3 D．－3
a·b－6
解析：选D 向量a在b方向上的投影为|b|＝2＝－3.故选D. 2．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于( ) 3A．－2 5C．3
5B．－3 3D．2
解析：选A 因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝3
－2，故选A．
3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
8A．65 16C．65
8B．－65 16D．－65
?8＋x＝3，
解析：选C 设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以?
?6＋y＝18，?x＝－5，a·b16解得?故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝|a||b|＝65.故选C．
?y＝12，
→|＝2|AP→|，则点P的坐
4．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB
标为( )
A．(3,1)
C．(3,1)或(1，－1)
B．(1，－1) D．无数多个
→→→→→→→
解析：选C 设P(x，y)，由|AB|＝2|AP|得，AB＝2AP或AB＝－2AP，AB＝(2,2)，→＝(x－2，y)， AP
即(2,2)＝2(x－2，y)，x＝3，y＝1，P(3,1)； 故(2,2)＝－2(x－2，y)，x＝1，y＝－1，P(1，－1)． P(3,1)或(1，－1)．故选C．
?π?
5．已知向量a＝(2cos θ，2sin θ)，b＝(0，－2)，θ∈?2，π?，则向量a，b的
??夹角为( )
3
A．2π－θ π
C．2＋θ
π
B．θ－2 D．θ
a·b－4sin θ
解析：选A ∵cos〈a，b〉＝|a||b|＝＝－sin θ
2×2?3?＝cos?2π－θ?，
??
3?π??π?∵θ∈?2，π?，∴2π－θ∈?2，π?，
????又〈a，b〉∈[0，π]
3
∴〈a，b〉＝2π－θ.故选A．
6．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于________． 解析：2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，
∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2. 答案：2
7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－→的模为________． c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN
解析：∵a∥b，∴2×(－2)－(－1)×x＝0， 解得x＝4，∴b＝(4，－2)，
∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，解得y＝－4，
→→
∴MN＝(y－x，x－y)＝(－8,8)，∴|MN|＝82. 答案：82
8．(2024·江西上饶中学月考)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，5若(a＋b)·c＝2，则a与c的夹角的大小为________．
解析：易得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝5.设c＝(x，y)， 55
∵(a＋b)·c＝2，∴x＋2y＝－2.设a与c的夹角为θ， a·cx＋2y1∴cos θ＝|a||c|＝5＝5＝－2. 又θ∈[0°，180°]∴θ＝120°. 答案：120°
9．(2024·洛阳期末)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解：∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a·(a＋λb)>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. 5∴λ>－3.
当a与a＋λb共线时， 存在实数m，使a＋λb＝ma， 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ?1＋λ＝m，∴?解得λ＝0. ?2＋λ＝2m，即当λ＝0时，a与a＋λb共线，
?5?
综上可知，实数λ的取值范围为?－3，0?∪(0，＋∞)．
??
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
5
－2
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →－tOC→)·→＝0，求t的值．
(2)设实数t满足(ABOC→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)， 解：(1)由题设知AB
→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)， 则AB
→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42. 所以|AB
故两条对角线的长分别为210、42.
→＝(－2，→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)，→－tOC→)·→＝0，
(2)由题设知OC－1)，AB由(ABOC11得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，故t＝－5.
‖层级二‖|应试能力达标|
1．(2024·山东日照一中期中)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b＝( )
7
A．－2 3C．2
1B．－2 5D．2
解析：选D a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意，得3(－115?1?＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－2，所以a·b＝－1×?－2?＋2×1＝2.故选D.
??
2．(2024·广东汕头金山中学期末)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
1A．7 1C．6
1B．－7 1D．－6
解析：选B 由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因为a＝(－13,2)，b＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－7.故选B.
3．(2024·浙江诸暨中学期末)已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则 b＝( )
?31?A．?，?
?22??133?
? C．?，
4??4
?13?
B．?，?
?22?D．(1,0)
解析：选B 设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝3x＋y＝3，由
?
?3x＋y＝?y≠0，
x2＋y2＝1，
3，
1x＝2，??解得?
3??y＝2，
?13?
即b＝?，?.故选B.
?22?
→→→→
4．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) C．(3,0)
B．(2,0) D．(4,0)
解析：选C 设点P的坐标为(x,0)，则 →＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)． AP
→·→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) ∴APBP＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1. →·→有最小值1， 当x＝3时，APBP此时点P的坐标为(3,0)，故选C．
5．(2024·天津七中期末)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________.
解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝5.
答案：5
6．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊕”为m⊕n＝(ac－bd，ad＋bc)．若已知p＝(1,2)，p⊕q＝(－4，－3)，则q＝________.
?x－2y＝－4，解析：设q＝(x，y)，则p⊕q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，∴?
?y＋2x＝－3，?x＝－2，解得?∴q＝(－2,1)．
?y＝1.
人教A版高中数学必修四同步课时分层训练：第2章 平面向量 2.4 2.4.2
