[学生用书P105(单独成册)])
[A 基础达标]
1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A．a与－λa的方向相反 C．a与λ2a的方向相同
B．|－λa|≥|a| D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C．当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C．
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 C．－1或4
B．3 D．3或4
解析：选A．因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，－3所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
2－m
→→→
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则( ) →→A．AO＝2OD →→C．AO＝3OD
→→B．AO＝OD →→D．2AO＝OD
→→→
解析：选B．因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD， →→→→→→所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.
→→
4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( ) A．k＝m C．km＋1＝0
B．km－1＝0 D．k＋m＝0
→→
解析：选B．若A，B，C三点共线，则AB与AC共线， →→
所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC， 即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
?λm＝1，?所以?
?λ＝k，?
所以km＝1，即km－1＝0.
→→→→
5．在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于( )
1→3→A．－AB＋AC
221→1→C．AB－AC
22
1→3→
B．AB－AC
221→1→D．－AB＋AC
22
1→→→→→→1→→→→→→
解析：选C．由AB＋AC＝2AP得AP＝(AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB
221→1→
＝AB－AC. 22
6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
?3x－4y＝6，?解析：由原式可得?
?2x－3y＝3，???x＝6，
解得?
?y＝3.?
所以x－y＝3. 答案：3
7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)． 答案：－4
8．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，→→→
若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________．
→→→→→→→→→
解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－1→3→1313→→→→→
AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
222222
答案：－2
9．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
?3x＋4y＝a，?
(2)已知?其中a，b为已知向量，求x，y.
?2x－3y＝b，?
解：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0. 得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a. 1
所以x＝2b－a.
2
??3x＋4y＝a，①(2)? ?2x－3y＝b，②?
21
由②得y＝x－b，代入①，
3321?
得3x＋4??3x－3b?＝a.
84
所以3x＋x－b－a＝0，17x＝4b＋3a.
3334
所以x＝a＋b.
17174231a＋b?－b 所以y＝?3?1717?3281
＝a＋b－b 1751323＝a－b. 1717
34x＝a＋b，1717
综上可得
23y＝a－b.1717
???
→→→
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且OM＝λOB＋(1－λ)OA(λ∈R，λ≠1，λ≠0)． (1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
→→→→→→→→→→
解：(1)证明：因为OM＝λOB＋(1－λ)OA，所以OM＝λOB＋OA－λOA，OM－OA＝λOB－→→→→→
λOA，即AM＝λAB，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且AM，AB有公共点A，所以A，B，M三点共线．
→→
(2)由第一问知AM＝λAB，若点B在线段AM上， →→→→
则AM，AB同向且|AM|>|AB|(如图所示)， 所以λ>1.
[B 能力提升]
→→→
1．已知O是△ABC内的一点，且OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的________． →→→→
解析：OA＋OB是以OA、OB为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设中点→→→→→
为D，则OA＋OB＝2OD，所以2OD＋OC＝0，同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为△ABC三边中线的交点，故为重心．
答案：重心
→→→→→→2.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________．
→→→
解析：由MA＋MB＋MC＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则 →2→21→→1→→AM＝AD＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，
3323→→→所以有AB＋AC＝3AM， 故m＝3. 答案：3
→→→3.证明：若向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，→→→
使得：OC＝λOA＋μOB；反之，也成立．
→→→→
证明：①如图所示，若OA、OB、OC的终点A、B、C共线，则AB∥→→→→→→→→→BC，故存在实数m，使得BC＝mAB，又BC＝OC－OB，AB＝OB－OA，→→→→所以OC－OB＝m(OB－OA)，
→→→即OC＝－mOA＋(1＋m)OB. 令λ＝－m，μ＝1＋m，
→→→
则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得OC＝λOA＋μOB.
→→→→→→②若OC＝λOA＋μOB，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1，则μ＝1－λ.故OC＝λOA＋(1－λ)OB， →→→→→→即OC－OB＝λ(OA－OB)，即BC＝λBA. 所以A、B、C三点共线，
→→→
即向量OA、OB、OC的终点在一条直线上．
4．(选做题)在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个→→→
实数λ，使得AE＝λ(AB＋AC)．
→1→→
证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD＝(AB＋AC)．
2因为A，D，E三点共线， →→
所以可设AE＝μAD， →μ→→则AE＝(AB＋AC)．
2
μ→→→令λ＝，可得AE＝λ(AB＋AC)．
2
→→→
所以，存在一个实数λ，使得AE＝λ(AB＋AC)．
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苏教版数学必修四同步练习：2.2 2.2.3 向量的数乘 巩固提升
