概率论与数理统计论文
引言：
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门学科，是对随机现象和统计规律进行演绎和归纳的一门科学，在现实生活中有很广泛的应用。例如：天气预报，地震监测，彩票，股票等等，天气监测准确率高了的话，就单农业而言收效会更高，地震监测准确的话，也会避免很多灾祸，假若人人都知道如果每周买100张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要1000年，如果每周买1000张彩票，赢得一次大奖的时间大约需要100年的话，还会有人抱着“早不中，晚就中”的心理白花钱买彩票吗？这些都和概率有关，所以我们要学好概率指导生活实践。无论大家意识到与否，随机现象贯穿于我们日常生活中每一个角落，例如：体育比赛安排场数需要概率，“抓阄”中包含中概率，生活中许多谚语也包含着概率：例如，三个“臭皮匠”胜过“诸葛亮”，先下手为强后下手遭殃等等，医学方面也会用到概率论，如果对随机问题一窍不通可能不知不觉的会产生很多损失，因此有人把不懂统计的人称作“新世纪的文盲”。
关键词：概率统计；随机事件；数学期望；n重贝努利试验，随机变量的数字特征
一．随机变量的数字特征
1．数学期望
设X是离散型的随机变量，其概率函数为
P(X?ai)?pi,i?1,2,如果级数i?api,
i绝对收敛，则定义X的数学期望为
E(X)??aipii；
??xf(x)dx 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分???绝对可积，则定义X的数学期望为
E(X)??????xf(x)dx．
2．随机变量函数的数学期望
设X为离散型随机变量，其概率函数
P(X?ai)?pi,i?1,2,如果级数
绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为
E[g(X)]??g(ai)pii
设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数
P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,,
g(ai,bj)pij??如果级数ji绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为
i?g(a)pi,
iE[g(X,Y)]???g(ai,bj)pijji；
特别地
E(X)???aipij;E(Y)???bjpijiiji.
??g(x)f(x)dx 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 ???绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为
E[g(X)]??分?????????g(x)f(x)dx．
设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积
?????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为
????E[g(x,y)]??特别地
?????g(x,y)f(x,y)dxdy；
E(x)???????????????xf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdy, .
E(Y)??????? 3．数学期望的性质
3.1 E(c)?c (其中c为常数)；
3.2 E(kX?b)?kE(X)?b (k,b为常数)； 3.3 E(X?Y)?E(X)?E(Y)；
3.4 如果X与相互独立，则E(XY)?E(X)E(Y). 4．方差与标准差
随机变量X的方差定义为
D(X)?E[X?E(X)]2． 计算方差常用下列公式：
D(X)?E(X2)?[E(X)]2’
当X为离散型随机变量，其概率函数为
P(X?ai)?pi,i?1,2,如果级数
?(a?E(X))ii,
2pi收敛，则X的方差为 D(X)??(ai?E(X))2pii；
当X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分
2(x?E(X))f(x)dx???收敛，则X的方差为 ??D(X)??(x?E(x))2f(x)dx????.
随机变量X的标准差定义为方差D(X)的算术平方根D(X). 5．方差的性质
5.1 D(c)?0 (c是常数)；
2 5.2 D(kX)?kD(X) (k为常数)；
5.3如果X与Y独立，则D(X?Y)?D(X)?D(Y). 6．协方差
设(X,Y)为二维随机变量，随机变量(X,Y)的协方差定义为
cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]．
计算协方差常用下列公式：
cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)． 当X?Y时，cov(X,Y)?cov(X,X)?D(X)． 协方差具有下列性质：
6.1 cov(X,c)?0 (c是常数)； 6.2 cov(X,Y)?cov(Y,X)； 6.3
cov(kX,lY)?klcov(X,Y) (k,l是常数)；
6.4 cov(X1?X2,Y)?cov(X1,Y)?cov(X2,Y) 7．相关系数
随机变量(X,Y)的相关系数定义为
cov(X,Y)D(X)D(Y)
X相关系数?XY反映了随机变量X与Y之间线性关系的紧密程度，当|?XY|越大，
与Y之间的线性相关程度越密切，当?XY?0时，称X与Y不相关．
?XY? 相关系数具有下列性质： 7.1 |?XY|?1；
7.2 |?XY|?1的充要条件是P(Y?aX?b)?1，其中a,b为常数；
7.3 若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即?XY?0，但由
?XY?0不能推断X与Y独立．
7.4下列5个命题是等价的： ． 7.4.1 ?XY?0；
7.4.2 cov(X,Y)?0；
7.4.3 E(XY)?E(X)E(Y)； 7.4.4 D(X?Y)?D(X)?D(Y))； 7.4.5 D(X?Y)?D(X)?D(Y)． 利用协方差或相关系数可以计算
D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y)． 8．原点矩与中心矩
k 随机变量X的k阶原点矩定义为E(X)；
k 随机变量X的k阶中心矩定义为E[(X?E(X))]]；
kl 随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合原点矩定义为E(XY)；
kl 随机变量(X,Y)的(k,l)阶混合中心矩定义为E[(X?E(X))(Y?E(Y))]． 一阶原点矩是数学期望E(X)；
二阶中心矩是方差D(X)；
(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(X,Y). 9．常用分布的数字特征
9.1当X服从二项分布B(n,p)时，
E(X)?np,D(X)?np(1?p)． 9.2 当X服从泊松分布p(?)时，
E(X)??,D(X)??， 9.3 当X服从区间(a,b)上均匀分布时，
a?b(b?a)2E(X)?,D(X)?212
9.4 当X服从参数为?的指数分布时，
11E(X)?,D(X)?2?? 2 9.5 当X服从正态分布N(?,?)时，
E(X)??,D(X)??2．
22N(?,?,?,?,?)时， (X,Y)1212 9.6 当服从二维正态分布
E(X)??1,D(X)??12；
E(Y)??2,D(Y)??22；
cov(X,Y)???1?2,?XY??
上面讲了那么多的知识点，看起来很是繁琐，个人认为重点是期望、方差、协方差、相关系数的概念、计算和性质；常用分布的数字特征；利用性质计算随机变量函数的期望。
从随机变量的数字特征的引出中，我们可以知道研究随机变量的数字特征可以简化某些实际问题的解答，可以从总体上掌握随机变量某一侧面的性质,下面讲讲上述内容的应用
二，
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