∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， 即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.
∴f(2 017)＋f(2 019)＝f(2 018－1)＋f(2 018＋1)＝0. 1
[答案] (1)－ (2)x－1 (3)0
2
[解题技法]
与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
[过关训练]
1．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为( ) A．g(x)＝x3 C．g(x)＝1＋x
B．g(x)＝cos x D．g(x)＝xex
解析：选B 因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.
??log2?1－x?，x＜0，2．设函数f(x)＝?若f(x)是奇函数，则g(3)的值是( )
?g?x?＋1，x>0，?
A．1 C．－3
B．3 D．－1
??log2?1－x?，x＜0，
解析：选C ∵函数f(x)＝?f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)，∴log2(1
?g?x?＋1，x>0，?
＋3)＝－(g(3)＋1)，则g(3)＝－3.故选C.
π
x＋?＋x2tx2＋2tsin??4?
3．若关于x的函数f(x)＝(t≠0)的最大值为a，最小值为b，且a22x＋cos x＋b＝2，则t＝________.
πx＋?＋x2tx2＋2tsin?tsin x＋x?4?解析：f(x)＝＝t＋2，
2x2＋cos x2x＋cos x
设g(x)＝2，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min
2x＋cos x＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1.
答案：1
考点三 函数的周期性 [典例精析] ??2?1－x?，0≤x≤1，
(1)已知函数f(x)＝?
?x－1，1＜x≤2，?
tsin x＋x
[师生共研过关]
如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝
，那么f2 019(2)的值为( )
A．0 C．2
B．1 D．3
(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
[解析] (1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2， ∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C. (2)∵f(x＋2)＝f(x)， ∴函数f(x)的周期T＝2， ∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2， ∴f(0)＝0，f(1)＝1，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0， f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1. 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010
[解题技法]
函数周期性有关问题的求解策略
(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有， 图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.
[过关训练]
1．[口诀第2句]已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1111
x＋?＝f?x－?，则f(6)等于( ) 时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f??2??2?2
A．－2 C．0
B．－1 D．2
111
x＋?＝f?x－?，解析：选D 当x>时，f?则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－?2??2?即周期为1，21)3－1]＝2.
2．[口诀第3、4句]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 C．8
B．7 D．9
解析：选B 当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，
所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3. 同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5. 当x7＝6时，也符合要求． 综上可知，共有7个交点．
3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x
∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )
A．f(log27)＜f(－5)＜f(6) B．f(log27)＜f(6)＜f(－5) C．f(－5)＜f(log27)＜f(6) D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)
解析：选C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.
考点四 函数性质的综合应用 [考法全析] 考法(一) 单调性与奇偶性综合
[例1] (2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
A．{x|0＜x＜1或x>2} C．{x|x＜0或x>3}
B．{x|x＜0或x>2} D．{x|x＜－1或x>1}
[全析考法过关] [解析] 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.
[答案] A
考法(二) 奇偶性与周期性综合
[例2] (2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3) C．(－∞，－1)
B．(3，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析] ∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数， ∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)． 又∵函数f(x)是偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1， ∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D. [答案] D
考法(三) 单调性、奇偶性与周期性结合
[例3] (2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c C．b>c>a
B．c>a>b D．a>c>b
[解析] ∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.
[答案] D
[规律探求]
考法(一)是已知函数单调递增且为奇函数，求自变量范围，有时也比较大小，常利用奇、偶函数图象的对称性； 看个性 考法(二)是已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值的范围，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 考法(三)是函数周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解 对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的找共性 奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题
第三节 函数的奇偶性与周期性
