第三节函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 奇偶性有特征，定义域要对称； 奇函数，有中心，偶函数，有对称. 图象特点 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 口诀记忆 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
[熟记常用结论]
1．奇偶性的5个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
2．周期性的4个常用结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a； (3)若f(x＋a)＝
1
，则函数的周期为2a； f?x?
1
，则函数的周期为2a. f?x?
(4)若f(x＋a)＝－
3．对称性的3个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( ) (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( ) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、选填题
1．下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝x2sin x C．y＝|ln x|
B．y＝x2cos x D．y＝2x
－
解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.
2．下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x C．y＝|x|
B．y＝ex D．y＝ex－ex
－
解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.
3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( ) A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
解析：选B 因为(a，f(a))是函数y＝f(x)图象上的点，且y＝f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．
4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 1
解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
31
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.
31
答案：
3
5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝
2
??－4x＋2，－1≤x＜0，3??则f??2?＝________. ?x，0≤x＜1，?
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数， 3??1??1?1
2－＝f－＝－4×?－?2＋2＝－1＋2＝1. ∴f?＝f?2??2??2??2?答案：1
考点一 [基础自学过关] 函数奇偶性的判定 [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x＋1)
1－x
； 1＋x
2??－x＋2x＋1，x>0，
(2)f(x)＝?2
?x＋2x－1，x＜0；?
4－x2(3)f(x)＝；
x2(4)f(x)＝loga(x＋x2＋1)(a>0且a≠1)． 1－x
解：(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，
1＋x所以－1＜x≤1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)为非奇非偶函数． (2)法一：定义法
当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，
－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，
－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 法二：图象法
作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数．
2
??4－x≥0，
(3)因为?所以－2≤x≤2且x≠0，
2
?x≠0，?
所以定义域关于原点对称． 又f(－x)＝
4－?－x?2?－x?2
＝4－x2
， x2所以f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数． (4)函数的定义域为R， 因为f(－x)＋f(x) ＝loga[－x＋＝loga(＝loga[(?－x?2＋1]＋loga(x＋x2＋1)
x2＋1－x)＋loga(x2＋1－x)(
x2＋1＋x)
x2＋1＋x)]
＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
[名师微点]
判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考点二 函数奇偶性的应用 [典例精析] 2x
(1)(2024·广州调研)已知函数f(x)＝x＋a为奇函数，则实数a＝________.
2－1(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. (3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 017)＋f(2 019)的值为________．
[解析] (1)易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)22x2x2x1
＝－f(x)，即x＋a＝－x－a，所以2a＝－x－x＝－x－＝－1，
2－－12－12－12－－12－11－2x1
所以a＝－. 2
(2)∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1， ∴当x＜0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1， 即x＜0时，f(x)＝x－1.
(3)由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，
∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，
2－x
－x
[师生共研过关]
第三节 函数的奇偶性与周期性
