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数学分析（上）期末试题 得分_________
姓名_________
1. 计算(每小题6分 ,共36分) 学号_________
x(1)lim?1dt
x???t(t?1)(2)
xe ??11?|x|dx
1p?2p???np(3)lim p?1n???n
yy2(4)设y?y(x)满足 e??0etdt?x?1?0, 求 y?x?0 (5)f?(x0)?1, 则 lim
h?0f(x0?3h)?f(x0)
2hxdx (6) ?lncos2cosx2 写出下列命题的分析表述(8分) (1) f?(x)在x0的极限不是A. (2) {an}是基本数列.
3 (8分)指出下列命题之间的关系：
(1) f(x)在点x0局部有界；(2) f(x)在点x0极限存在；
(3) f(x)在点x0可导；(4) f(x)在点x0连续；(5) f(x)在点x0有定义.
?sin2(ex?1),?xe?1?4. (8分)讨论函数f(x)??2,2?1xcos2tdt?2?x0x?0x?0的连续性, 若有间断点, x?0?是哪种间断点? 给出函数的连续区间.
5. (12分)设x1>0, xn+1=ln(1+xn)(n=1,2,???), 证明 (i) limxn?0; (ii) xn~2(n??).
n??n6. (8分)设函数f(x), g(x)在闭区间[a, b]上连续, 证明存在??(a, b),
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使f(?)??g(x)dx?g(?)?af(x)dx=?.
7. (8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.
8. (10分)设D1, D2为曲线y = x2与直线y=tx围成的图形, 问当t为何值时, D1, D2绕x轴旋转所得旋转体体积之和达到最小值?
b?数学分析（上）期末试题 得分_________
姓名_________
2. 计算(每小题6分 ,共36分) 学号_________ (1) lim(2) ?arctanx?x
x?0ln(1?x3)dx x(x?1)2?x?etdy?(3) 设?, 求 t2u2dxy??edu? 0??1??(4) 设f(x)??1?x1???1?exx?0x?0
t?1, 求?f(x?1)dx.
0 2(5) 已知f(x)连续,且满足方程表达式.
?x0f(t)dt?x4?x2?xf(x)dx,试求f(x)的
?10(6) 求心形线r?a(1?cos?) (0???2?)的弧长 3 写出下列命题的分析表述(8分)
(1) f?(x)在x0的极限不是A. (2) f?(x)在区间I上一致连续..
4 (8分)指出下列命题之间的关系：
(1) f(x)在点x0局部有界；(2) f(x)在点x0极限存在；
(3) f(x)在点x0可导；(4) f(x)在点x0连续；(5) f(x)在点x0有定义.
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?sin2(ex?1),?xe?1?4. (10分)讨论函数f(x)??2,?1x2cos2tdt?2?x0x?0x?0的连续性, 若有间断点, x?0?是哪种间断点? 给出函数的连续区间.
5 (12分)设0?x1?n???2, xn+1=sinxn (n=1,2,???), 证明
3n2 (i) {xn} 收敛且 limxn?0; (ii) xn~ (n??).
6 (8分)设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 在??(a, b)上可微, 且 f(a)=0,
?baf(x)dx?0.证明存在??(a, b), 使f?(?)?0.
7 (8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.
8（8分）求抛物线y?x(x?a)与直线y?x所围平面图形的面积
(a?0).
《数学分析（中）》期终试卷（A卷） 2004 ,7
一 选择填空 （每小题4分 ,共28分） 1. 函数f(x)???x 0?x?1的Fourier级数在点x=2处收敛于
1?x ?1?x?0?____________________________.
??12. 若?an收敛 ,则级数?(an?)______；级数?(?1)nan_____.
nn?1n?1n?1????A一定收敛 B一定发散 C不能确定
3. 设函数f(x)在[??,?]连续 ,则下列一定正确的是___________. Af(x)的Fourier级数点态收敛于f(x).
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Bf(x)的Fourier级数平方收敛于f(x). Cf(x)的Fourier级数一致收敛于f(x).
Df(x)的Fourier级数在 [c,d]?[??,?]上可逐项积分并收敛于?cf(x)dx. 4. 集合S?Rn是紧集当且仅当________________________________. 5. 函数f(x)?x2?2y在点(1,2)处沿方向______________的方向导
数取最大值, 最大值为__________________________. 6. Rn中点列{xn}是基本点列当且仅当______________________ _________________________________________________________.
222??x?y?z?67. 空间曲线?2在点（1 ,1 ,2）处的切线方程为 22??3x?y?z?0d_________________________________________________________________.
二 解答题（每小题10分 ,共60分） 1 求幂级数?(?1)n?1??n?1n2nx的收敛域与和函数 ,并求级数?n的
n?022n??和。
2 设F是可微函数 ,z?f(x,y)是由F(cx?az,cy?bz)?0所确定的隐函数 ,求 a?z?z?b。 ?x?y??3 确定函数f(x)??(?1)nn?11的定义域及其在定义域上的连续性nx和可微性。
4 判断反常积分?xpsinx2dx (p?R)的敛散性（包括发散、绝对
0??收敛与条件收敛）。
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xy?22 x?y?0?225 讨论函数f(x)??x?y在点（0 ,0）的连续性、
?22? 0 x?y?0可偏导性和可微性。
x2y2z26 求曲面2?2?2?1在第一卦限的切平面 ,使得该切平面与
abc三个坐标平面围成的四面体体积最小。
三 证明(每题6分 ,共12分) 1 若函数
f(x,y)在点P0(a,b)连续且f(a,b)?0 ,则
??? ??0, ? (x,y)?O(P0,?), 有 f(x,y)?0。
2 若集合D中存在数列{xn} ,使得limun(xn)?0 ,则级数?un(xn)n???n?0在D上非一致收敛。 补充题（10分）：设fn(x)??i?0n?11if(x?), 其中f为连续函数. 证明: nnfn(x)在任何闭区间[a,b]上一致收敛。
同济大学期末考试试题.doc
