《 抽象代数基础 》教案
授课时间 第 34 次课 授课章节 教学方法 与手段 2.7 唯一分解整环上的多项式环 讲授法、板书 使用教材和 主要参考书 教学目的与要求： 明确唯一分解整环上的多项式环的性质 《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4 《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，7 任课教师 xx教授 及职称 课时安排 4课时 教学重点，难点： 本原多项式，Gauss引理 1
教学内容： 2.7唯一分解整环上的多项式环 定义1 设f(x)?R[x]，如果f(x)的系数的最大公因子是单位，则称f(x)是本原多项式。 引理1 R[x]中的每个非零多项式都可以表示成R中的一个元素与R[x]中的一个本原多项式的乘积的形式，而且在相伴意义下这个表达式是唯一的。 引理2 （Gauss引理）两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。 引理3 设Q是R的分式域，f1(x),f2(x)?R[x]是两个本原多项式，则f1(x),f2(x)在R[x]中相伴?f1(x),f2(x)在Q[x]中相伴。 引理4 设Q是R的分式域，f(x)?R[x]是一个本原多项式，则f(x)是R[x]中的既约元?f(x)是Q[x]中的既约元。 定理1 设R是唯一分解整环，则R[x]也是唯一分解整环。 证明：设f(x)?R[x]，f(x)?0，f(x)不是单位，令f(x)?df1(x),其中d?R,f1(x)?R[x]是本原多项式。 若f1(x)是单位，易得f1(x)?p1(x)p2(x)???pn(x)，其中p1(x),p2(x),???,pn(x)是R[x]中的具有正次数的既约元。 再将d在R中分解成既约元的乘积形式d?q1q2???qs，于是得到f(x)的一个分解式f(x)?q1q2???qsp1(x)p2(x)???pn(x)，假设f(x)的另一个分解式 f(x)?q1*q2*???qs*p1(x)*p2(x)*???pm(x)*，其中?,qi*?R,pj*(x)的次数大于零。由Gauss引理和引*理1，引理4和相伴元的知识经过适当调换顺序可得pi(x)与pi(x)在R[x]中相伴。 所以R[x]是一个唯一分解整环。
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复习思考题、作业题： 课本P61 1，2 下次课预习要点 实施情况及教学效果分析 3
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抽象代数基础2.7唯一分解整环上的多项式环
