高考数学大一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式分
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1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b>2ab B．a＋b≥2ab 112C.＋>
2
2
ababD.＋≥2
解析：选D.因为a＋b－2ab＝(a－b)≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，因为ab>0， 所以＋≥2
2
2
2
baabbaabba·＝2. abxy1
2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( ) A．1 C．3
解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2， （x＋y）2
所以xy≤＝＝1，
441
所以≥1；
2
2
B．2 D．4
xy1
又≥M恒成立，
xy所以M≤1，即M的最大值为1.
3．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( ) A. 8C. 2
L2L2
B. 4D．L
2
L2
解析：选A.设菜园的长为x，宽为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，
1
因为x＋2y≥22xy. （x＋2y）L所以xy≤＝. 88当且仅当x＝2y＝， 2即x＝，y＝时，
24
2
2
LLLSmax＝，故选A.
8
1xy4．(2019·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x>0，y>0，lg 2＋lg 8＝lg 2，则＋
L2
x1
的最小值是( ) 3yA．2 C．4
xyxyB．22 D．23
解析：选C.因为lg 2＋lg 8＝lg 2，所以lg(2·8)＝lg 2， 所以2
x＋3y＝2，所以x＋3y＝1.
3yx·＝4，当且仅当xx3y113yx?11?因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)?＋?＝2＋＋≥2＋2x3yx3y?x3y?111
＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
2x3y5．不等式x＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( ) A．(－2，0) C．(－2，1)
2
2
abbaB．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C.根据题意，由于不等式x＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x＋x<
abba2
?a＋b?，因为a＋b≥2 ?ba?ba??min
x2
ab2
·＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x＋x<2，求解此ba一元二次不等式可知－2 x＋1 (x>－1)的最小值为________． x2－1＋111 解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，x>－1， x＋1x＋1x＋1 所以y≥21－2＝0， 当且仅当x＝0时，等号成立． 答案：0 1 7．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 600600?900?解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4?＋x?≥8 900 xx?x? x·x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30. 答案：30 8．已知不等式2x＋m＋ 8 >0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围是________． x－1 88>0可化为2(x－1)＋>－m－2， x－1x－1 8 ≥2x－1 2（x－1）· 8 ＝8， x－1 解析：不等式2x＋m＋ 因为x>1，所以2(x－1)＋ 当且仅当x＝3时取等号． 因为不等式2x＋m＋所以－m－2<8. 解得m>－10. 答案：(－10，＋∞) 4 9．(1)已知0 3 (2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2＋4的最小值． 4 解：(1)已知0 31 所以x(4－3x)＝(3x)(4－3x) 31?3x＋4－3x?24≤??＝3， 23?? 2 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立． 324 所以当x＝时，x(4－3x)取最大值为. 33(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动， 所以x＋2y＝3. 所以2＋4≥22·4＝22 xyxyxyx＋2yxy8 >0对一切x∈(1，＋∞)恒成立， x－1 ＝22＝42. 3 ??2＝4，33 当且仅当?即x＝，y＝时“＝”成立． 24?x＋2y＝3，? 1 33xy所以当x＝，y＝时，2＋4取最小值为42. 24 10.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n100400 ??6＜s1＜8， 为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中? ?14＜s2＜17.? nvv2 (1)求n的值； (2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？ 2749 解：(1)由试验数据知，s1＝n＋4，s2＝n＋， 51042 5＜n＜10，6＜n＋4＜8，???5? 所以?解之得?595. 749＜n＜?1414＜n＋＜17，?2??104又n∈N，所以n＝6. 3vv(2)由(1)知，s＝＋，v≥0. 504003vv依题意，s＝＋≤12.6， 50400 即v＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60. 因为v≥0，所以0≤v≤60. 故行驶的最大速度为60 km/h. 1221 1．(2019·湖南省湘中名校高三联考)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值 aba－1b－2为( ) A．2 5 C. 2 B.32 2 2 2 2 32D．1＋ 4 122a212 解析：选A.由a，b为正数，且＋＝1，得b＝>0，所以a－1>0，所以＋＝ aba－1a－1b－2a－1＋ 2a－1 ＝＋≥22aa－12－2a－11 2a－12a－112·＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，a－12a－12ab 1 即a＝b＝3时等号成立，所以 21＋的最小值为2，故选A. a－1b－2 2 2 2．已知x>0，y>0，2x＋y＝1，若4x＋y＋xy－m<0恒成立，则m的取值范围是( ) A．(－1，0)∪?C.? ?17，＋∞? ? ?16??17?B.?，＋∞? ?16??17?D.?1，? ?16? ?17，2? ??16? 2 2 2 2 解析：选B.4x＋y＋xy－m<0恒成立，即m>4x＋y＋xy恒成立．因为x>0，y>0，2x＋y＝1，所以1＝2x＋y≥22xy，所以0 (当且仅当2x＝y＝时，等号成立)．因为42 2 1?17?22 4x＋y＋xy＝(2x＋y)－4xy＋xy＝1－4xy＋xy＝－4?xy－?＋，所以4x＋y＋ 8?16? 2 2 2 xy的最大值为，故m>，选B. 3．若a－ab＋b＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________． 解析：由a－ab＋b＝1， （a＋b） 可得(a＋b)＝1＋3ab≤1＋3×， 4 2 2 2 2 2 2 17161716 12 则(a＋b)≤1，－2≤a＋b≤2，所以a＋b的最大值是2. 4答案：2 4．若对x，y∈[1，2]，xy＝2，总有不等式2－x≥成立，则实数a的取值范围是________． 4－y解析：由题意知a≤(2－x)(4－y)恒成立，则只需a≤[(2－x)(4－y)]min， (2－x)(4－y)＝8－4x－2y＋xy ＝8－(4x＋2y)＋2＝10－(4x＋2y) 4??＝10－?4x＋?. a?x? 4??令f(x)＝10－?4x＋?，x∈[1，2]， ?x? ?4?4（1－x），f′(x)≤0， 则f′(x)＝－?4－2?＝ x2?x? 故f(x)在x∈[1，2]是减函数， 所以当x＝2时f(x)取最小值0， 即(2－x)(4－y)的最小值为0，所以a≤0. 答案：a≤0 5．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 1 2
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