导数运算中构造函数解决抽象函数问题
【模型总结】
关系式为“加”型
（1）f'(x)?f(x)?0 构造[exf(x)]'?ex[f'(x)?f(x)] （2）xf'(x)?f(x)?0 构造[xf(x)]'?xf'(x)?f(x)
（3）xf'(x)?nf(x)?0 构造[xnf(x)]'?xnf'(x)?nxn?1f(x)?xn?1[xf'(x)?nf(x)] （注意对x的符号进行讨论） 关系式为“减”型
f(x)f'(x)ex?f(x)exf'(x)?f(x)（1）f'(x)?f(x)?0 构造[x]'? ?e(ex)2ex（2）xf'(x)?f(x)?0 构造[f(x)xf'(x)?f(x)]'? 2xxf(x)xnf'(x)?nxn?1f(x)xf'(x)?nf(x)（3）xf'(x)?nf(x)?0 构造[n]'? ?n2n?1x(x)x（注意对x的符号进行讨论）
小结：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘
典型例题：
例1.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，g(?3)?0，求不等式f(x)g(x)?0的解集
变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x?0时，
f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，g(?3)?0，求不等式f(x)g(x)?0的解集.
例2.已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足
f(1)f?(1)??g(1)g?(1)，若有穷数列?f(x)?f(x)g'(x)?ax，且f'(x)g(x)，
g(x)52?f(n)?31*的前项和等于，则n等于 . (n?N)n?32?g(n)?f(x)?ax，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)，g(x)变式：已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足
若若
f(1)f(?1)5??，求关于x的不等式logax?1的解集. g(1)g(?1)2例3.已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x)，当x?0时，f'(x)?若a?f(x)?0，x111f(),b??2f(?2),c?lnf(ln2)a,b,c的大小关系是 ，则关于222例4.已知函数f(x)为定义在R上的可导奇函数，且f(x)?立，且f（3）=e，则f(x)/e^x<1的解集为 f'(x)对于任意x?R恒成
1.求f(1)的值. e2变式：设f(x)是R上的可导函数，且f'(x)??f(x)，f(0)?1，f(2)?例5.设函数f(x)在R上的导函数为f'(x)，且2f(x)?xf'(x)?x2，
变式：已知f(x)的导函数为f'(x)，当x?0时，2f(x)?xf'(x)，且f(1)?1，若存在
x?R?，使f(x)?x2，求x的值.
巩固练习:
''1.定义在R上的函数f(x)，其导函数f?x?满足f?x??1，且f?2??3，则关于x的不
等式f?x??x?1的解集为 ▲ ．
2.已知定义在R上的可导函数y?f(x)的导函数为f/(x)，满足f/(x)?f(x)，且
y?f(x?1)为偶函数，f(2)?1，则不等式f(x)?ex的解集为 ▲
3.设f?(x)和g?(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性相反.若函数f(x)?13x?2ax与g(x)?x2?2bx在3开区间(a,b)上单调性相反（a?0），则b?a的最大值为 ▲
4.设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，对任意的x?R有f(?x)?f(x)?x2，且在?0,??? 上，f?(x)?x.，若f(2?a)?f(a)?2?2a,则实数a的取值范围为 ▲ ；
导数运算中构造函数解决抽象函数问题
