特殊曲柱面、及其方程--锥面、旋转面面
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引言
空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面
定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线?? vu
相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线?作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线?为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
图1
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程
选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于
z轴，准线为Oxy面上的一条曲线，其方程为：
??f?x,y??0 ?z?0??z P?x,y,z? O x 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
y M?x,y,0? ? 图2
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又设P?x,y,z?为柱面上一动点（图2），则过点P与z轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线?的交点记为M?x,y,0?，因点M在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点P?x,y,z?的坐标满足方程f?x,y??0
反过来，若一点P?x,y,z?的坐标满足方程f?x,y??0，过P作z轴的平行线交Oxy面于点M，则点M的坐标?x,y,0?满足准线?的方程
f?x,y??0,z?0，这表明点M在准线?上，因此直线MP是柱面的母线 (因为直线MP的方向向量为?0,0,z?||?0,0,1?)，所以点P在柱面上。
综上所述，我们有如下结论：
母线平行上于z轴，且与Oxy面的交线为f?x,y??0,z?0的柱面方程为：
f?x,y??0 （1）
它表示一个无限柱面。若加上限制条件a?z?b，变得它的一平截段面。
同理，母线平行于x轴，且与Oyz面的交线为g?y,z??0,x?0的柱面方程为g?y,z??0；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为h?x,z??0,y?0的柱面方程为h?x,z??0。
定理1：凡三元方程不含坐标x,y,z中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。
应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。
x2y2x2y2例1：以Oxy面上的椭圆2?2?1,z?0，双曲线2?2?1,z?0和抛
abab物线y2?2Px,z?0为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为
x2y2?2?1,2abx2y22??1,y?2Px 22ab收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，
z z y z y x y o x o x o 图3
故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。
例2：证明，若柱面的准线为
??f?x,y??0?:?
z?0??r母线方向为V??l,m,n??n?0?，则柱面方程为
lm??f?x?z,y?z??0 （2）
nn??证：设P1?x1,y1,0?为准线?上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：
x?x1?l?,y?y1?m?,z?n? （?为叁数） ①
当点P1遍历准线?上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数?，由①式中最后一个式子得??z，代入其余两个式子，有 nlmx1?x?l??x?z,y1?y?m??y?z
nn因点P1在准线上，代入f?x1,y1??0，即得(2)式
??f?x,z??0若柱面的准线为 ?1:?
y?0??uv母线方向为 V?{l,m,n}?m?0?
ln?则柱面方程为： ?1:f?x?y,z?mm??y??0 （3） ?收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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??f?y,z??0若柱面的准线为： ?2:?
??x?0uv母线方向为 V?{l,m,n}?l?0?
mn??则柱面方程为 ?2:f?y?x,z?x??0 （4）
ll??1.2 柱面的一般方程
设柱面的准线?是一条空间曲线，其方程为
??F1?x,y,z??0?:?
??F2?x,y,z??0母线方向为?l,m,n?，在准线?上任取一点P1的母线方程1?x1,y1,z1?，则过点P是： x?x1?l?,y?y1?m?,z?n? （?为叁数）
这里x,y,z是母线上点的流动坐标。因点P1的坐标应满足：
F1?x1,y1,z1??0,F2?x1,y1,z1??0
??F1?x??l,y??m,z??n??0??
Fx??l,y??m,z??n?0???2?从上面这两组式子中消去参数?，最后得一个三元方程
F?x,y,z??0 (5)
这就是以?为准线，母线的方向数为l,m,n的柱面方程。
例3：柱面的准线是球面x2?y2?z2?1与平面x?y?z?0的交线，母线方向是?1,1,1?，求柱面的方向。
解：设?x1,y1,z1?是准线上任一点，则过这点的母线方程为
x1?x??,y1?y??,z1?z?? z?z1??
由此得 x?x1??,y?y1??,收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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