专题6 相似三角形的判定和应用
一、判定相似三角形的基本思路:
1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 三、经典例题：
例1.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，E是AC延长线上任意一点，连接DE与AB交于F，与过A平行于BC的直线交于G。 求证：
AFBF?AECE.
变式1：如图，在ΔABC中，?A与?B互余，CD?AB，DE//BC，交AC于点E，求证： AD:AC=CE:BD.
例2：如图：已知梯形ABCD中，AD//BC，?ABC?90?，且BD?CD于D。 求证：①?ABD~?DCB ；②BD
2?AD?BC
例3.如图，在ΔABC中，?BAC?90?，M是BC的中点，DM?BC交BA的延长线于D，交AC于E。
求证：MA2?MD?ME
例4.已知：在ΔABC中，AD是?BAC的平分线，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且
EDDF?ABAC
求证：BE//FC。
例5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB、AC上一点，切BE=BF，BP?CE，垂足为P。 求证：PD?PF.
例6.在ΔABC的中线AD,BE相交于G。 求证：ΔAGB的面积等于四边形CEGD。
四．课堂练习：
1.如图，在△ABC中，AC?BC，D是AC边上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 （只要求填一个） （2）若△CBD∽△CAB，且AD?2，BC?3，求CD的长．
C D
A
2. 如图，在平行四边形ABCD中，R在BC的延长线上，AR交CD于Q，若DQ∶CQ＝4∶3，求AQ∶QR的值。
AD
PQ
CRB
3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB?2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB?9，求BM． D C F M
A B E
B
4.如图，△ABC中AB=BD，AD为中线，点E是BD的中点。
求证：（1） △ABE∽CBE； （2）求证：AC=2AE
5. 如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE?∠A． （1）试问：AB?FG?CF?CA成立吗？说明理由； （2）若BD?FC，求证：△ABC是等腰三角形．
6、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证：FD2?FB?FC
7、已知：如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。 求证：DC2?DF?DA
8、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.
9、已知：∠A=60°，BD、CE是△ABC的高。 （1）△ADE与△ABC相似吗？说明理由。 （2）图中共有几对相似三角形？
思考：去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗？
AEDBC10.M为线段AB的中点，AE与BD交于C，∠DME=∠A=∠B=?，且DM交AC于F，ME交BC于G。（1）写出图中相似三角形；
（2）连接FG，若?=45°，AB=42，AF=3，求FG的长。
DCFAMGEB
专题6 相似三角形证明的方法与技巧
