专题6 相似三角形的判定和应用
一、判定相似三角形的基本思路:
1.找准对应关系:两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写,一般说来,相等的角所对的边是对应边,对应边所对的角是对应角。
2.记住五个判定定理:判定相似三角形依据是五个定理,即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用: 1.证比例式; 2.证等积式; 3.证直线平行; 4.证直线垂直; 5.证面积相等; 三、经典例题:
例1.如图,在ΔABC中,D是BC的中点,E是AC延长线上任意一点,连接DE与AB交于F,与过A平行于BC的直线交于G。 求证:
AFBF?AECE.
变式1:如图,在ΔABC中,?A与?B互余,CD?AB,DE//BC,交AC于点E,求证: AD:AC=CE:BD.
例2:如图:已知梯形ABCD中,AD//BC,?ABC?90?,且BD?CD于D。 求证:①?ABD~?DCB ;②BD
2?AD?BC
例3.如图,在ΔABC中,?BAC?90?,M是BC的中点,DM?BC交BA的延长线于D,交AC于E。
求证:MA2?MD?ME
例4.已知:在ΔABC中,AD是?BAC的平分线,点E在AD上,点F在AD的延长线上,且
EDDF?ABAC
求证:BE//FC。
例5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB、AC上一点,切BE=BF,BP?CE,垂足为P。 求证:PD?PF.
例6.在ΔABC的中线AD,BE相交于G。 求证:ΔAGB的面积等于四边形CEGD。
四.课堂练习:
1.如图,在△ABC中,AC?BC,D是AC边上一点,连接BD.
(1)要使△CBD∽△CAB,还需要补充一个条件是 (只要求填一个) (2)若△CBD∽△CAB,且AD?2,BC?3,求CD的长.
C D
A
2. 如图,在平行四边形ABCD中,R在BC的延长线上,AR交CD于Q,若DQ∶CQ=4∶3,求AQ∶QR的值。
AD
PQ
CRB
3.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB?2CD,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M.
(1)求证:△EDM∽△FBM; (2)若DB?9,求BM. D C F M
A B E
B
4.如图,△ABC中AB=BD,AD为中线,点E是BD的中点。
求证:(1) △ABE∽CBE; (2)求证:AC=2AE
5. 如图,点D,E分别在△ABC的边BC,BA上,四边形CDEF是等腰梯形,EF∥CD.EF与AC交于点G,且∠BDE?∠A. (1)试问:AB?FG?CF?CA成立吗?说明理由; (2)若BD?FC,求证:△ABC是等腰三角形.
6、已知:如图,AD是△ABC的角平分线,AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F,求证:FD2?FB?FC
7、已知:如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=900,过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F。 求证:DC2?DF?DA
8、如图,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗?说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗?说说你的理由.
9、已知:∠A=60°,BD、CE是△ABC的高。 (1)△ADE与△ABC相似吗?说明理由。 (2)图中共有几对相似三角形?
思考:去掉∠A=60°条件以上结论还成立吗?
AEDBC10.M为线段AB的中点,AE与BD交于C,∠DME=∠A=∠B=?,且DM交AC于F,ME交BC于G。(1)写出图中相似三角形;
(2)连接FG,若?=45°,AB=42,AF=3,求FG的长。
DCFAMGEB
专题6 相似三角形证明的方法与技巧
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