[基础达标]
1.给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点||，则它们的终点构成一个圆； ②零向量没有方向；
③空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是__________． 答案：3
→→→→2.化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝__________．
解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简． →→→→→→→→→→→→→→→(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝(AB＋BD)＋(DC＋→→→
CA)＝AD＋DA＝0.
→→→→→→
法二：利用AB－AC＝CB||，DC－DB＝BC进行化简． →→→→→→→→→→→→→→
(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.
→→→
法三：利用MN＝ON－OM的关系进行化简． 设O为平面内任意一点||，则有 →→→→→→→→→→→→→→(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋→→→→→→→→→→
(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.
答案：0
3.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O||，则下列命题中正确的共有________个． →→→→
①OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量； →→→→
②OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量；
→→→→
③OA′－OA与OC－OC′是一对相反向量； →→→→→→→→
④OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量．
→→→→→→
解析：如图||，对于①||，OA＋OD＝C′O＋B′O＝－(OB′＋OC′)||，故①正确；
→→→→→→→→
对于②||，OB－OC＝CB||，OA′－OD′＝D′A′||，因CB＝DA||，故②不正确；
→→→→→→→→
对于③||，OA′－OA＝AA′||，OC－OC′＝C′C||，因AA′＝－C′C||，故③正确；
→→→→→→→→
对于④||，OA＋OB＋OC＋OD＝C′O＋D′O＋A′O＋B′O
→→→→
＝－(OA′＋OB′＋OC′＋OD′)||，故④正确． 答案：3
4.如图所示||，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中||，M为AC与BD的交点||，若A→1B1＝→→→
a||，A1D1＝b||，A1A＝c||，则下列向量中与B1M为相反向量的是________．(填序号)
11
①－a＋b＋c；
2211
②a＋b＋c； 22
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11
③a－b－c； 2211
④－a－b＋c.
22
111→→→→1→→
解析：因为B1M＝B1B＋BM＝A1A＋(BA＋BC)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c||，所以与
2222
11→
B1M为相反向量的是a－b－c.
22
答案：③
→→→5.四面体O－ABC中||，OA＝a||，OB＝b||，OC＝c||，D为BC的中点||，E为AD的中点
→
||，则OE＝________(用a||，b||，c表示)．
解析：如图所示： 由三角形法则||，得 →→→
AB＝OB－OA＝b－a||， →→→
BC＝OC－OB＝c－b||，
→1→1
所以BD＝BC＝(c－b)||，
22
→→→11
AD＝AB＋BD＝b＋c－a||，
22
→1→111
故AE＝AD＝b＋c－a||，
2442
→→→111所以OE＝OA＋AE＝a＋b＋c.
244
111答案：a＋b＋c
244
→→6.已知点G是正方形ABCD的中心||，P是正方形ABCD所在平面外一点||，则PA＋PB＋
→→
PC＋PD等于________．
→→→→→→→→→→→
解析：PA＋PC＝2PG||，PB＋PD＝2PG||，所以PA＋PB＋PC＋PD＝4PG.
→
答案：4PG
→→→→7.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中||，设AB＝a||，AD＝b||，AA1＝c||，则向量D1B可用
a||，b||，c表示为__________．
→→→→→→→→→→→
解析：如图||，D1B＝－BD1＝－(BA＋BC＋BB1)＝AB－BC－BB1＝AB－AD－AA1＝a－b－c.
答案：a－b－c →→
如图||，四棱柱的上底面ABCD中||，AB＝DC||，下列向量相等的一组是__________(填序号)．
→→→→→→→→①AD与CB；②OA与DC；③AC与DB；④DO与OB.
→→→→
解析：∵AB＝DC||，∴|AB|＝|DC|||，且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形||，由平
→→
行四边形的性质知DO＝OB.
8.
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答案：④
9.
如图||，在空间四边形A－BCD中||，点M、G分别是BC、CD的中点．
→1→→
化简：(1)AB＋(BC＋BD)；
2
→1→→(2)AG－(AB＋AC)．
2
→→→→
解：(1)原式＝AB＋BM＋MG＝AG；
→→→1→→
(2)原式＝AB＋BM＋MG－(AB＋AC)
2
→→1→→→→→→＝BM＋MG＋(AB－AC)＝BM＋MG＋MB＝MG.
2
10.已知四面体ABCD中||，G为△BCD的重心||，E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点||，化简下列各式：
1→→→→1→1→
(1)AG＋BE＋CA；(2)(AB＋AC－AD)．
322
解：
→1→
(1)如图所示||，由G是△BCD的重心知||，GE＝BE.又E、F为中点||，
3
11→→AC||，CA＝EF. 22
→1→1→→→→→∴AG＋BE＋CA＝AG＋GE＋EF＝AF.
32
(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知 1→→1→→→
(AB＋AC)＝AH||，AD＝AF||， 221→→→→→→∴(AB＋AC－AD)＝AH－AF＝FH. 2
[能力提升] ∴EF
1
如图||，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中||，E、F分别在B1B和D1D上||，且BE＝BB1||，
3
2→→→→
DF＝DD1||，若EF＝x AB＋y AD＋z AA1||，则x＋y＋z＝__________．
3
解析：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中||， →→→有AA1＝BB1＝CC1||，
→→→→→→→于是EF＝AF－AE＝(AD＋DF)－(AB＋BE)
→→2→1→＝－AB＋AD＋DD1－BB1
33
→→1→＝－AB＋AD＋AA1||，
3
→→→→又EF＝xAB＋yAD＋zAA1||，
11
∴x＝－1||，y＝1||，z＝||，∴x＋y＋z＝.
33
1答案： 3
1.
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数学苏教版选修2-1作业：第3章3.1.1 空间向量及其线性运算
