《计算方法》练习题一
练习题第1套参考答案 一、填空题
1.??3.14159?的近似值3.1428,准确数位是(10 )。
?2f??(?)。 (x?a)(x?b) )
2!2 3.设{Pk(x)}为勒让德多项式,则(P2(x),P2(x))?( )。
5 2.满足f(a)?c,f(b)?d的插值余项R(x)?(
4.乘幂法是求实方阵(按模最大 )特征值与特征向量的迭代法。
5.欧拉法的绝对稳定实区间是([?2,0] )。 二、单选题
1.已知近似数a,b,的误差限?(a),?(b),则?(ab)?(C )。
A.?(a)?(b) B.?(a)??(b) C.a?(a)?b?(b) D.a?(b)?b?(a) 2.设f(x)?x?x,则f[1,2,3]?(A )。
A.1 B.2 C.3 D.4
2?31?3.设A=?. ?,则化A为对角阵的平面旋转??(C )
13??
A.
???? B. C. D. 23464.若双点弦法收敛,则双点弦法具有(B )敛速.
A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次
5.改进欧拉法的局部截断误差阶是(C ).
A.o(h) B.o(h) C.o(h) D.o(h) 三、计算题
234?x1?x2?3?1.求矛盾方程组:?x1?2x2?4的最小二乘解。
?x?x?22?1解:
?(x1,x2)?(x1?x2?3)2?(x1?2x2?4)2?(x1?x2?2)2,
由
?3x?2x2?9?????0,?0得:?1, ?x1?x22x?6x?92?1
解得x1?
189,x2?。 7142.用n?4的复化梯形公式计算积分解:
?211dx,并估计误差。 x?21dx18881?[1????]?0.697, x85672R(x)?M21。 ?12?1696
?2x1?5x2?3x3?6?3.用列主元消元法解方程组:?2x1?4x2?3x3?5。
?4x?6x?2x?423?1?2536??4624??4624????123???224? 解:2435??????????11??4624???224????回代得:x?(?1,1,1)
4.用雅可比迭代法解方程组:(求出x(1)T)。
?4?10??x1??1???14?1??x???3? ???2?????0?14????x3????1??解:因为A为严格对角占优阵,所以雅可比法收敛。
1?(m?1)(m)x?(1?x)12?4??(m?1)1(m)雅可比迭代公式为:?x2?(3?x1(m)?x3),m?0,1,?。
4?1(m?1)(m)?x3?(1?x2)?4?取x x
5.用切线法求x?4x?1?0最小正根(求出x1)。
解:因为f(0)?1?0,f(0.5)??0.875?0,所以x?[0,0.5],在[0,0.5]上,f?(x)?3x?4?0,f??(x)?6x?0。
*2(0)?(1,1,1)T计算得: ?(0.5,1.25,0.5)T。
(1)3
由f(x0)f??(x)?0,选x0?0,由迭代公式: xn?13xn?4xn?1?xn?,n?0,1,? 23xn?4 计算得:x1?0.25。
四、证明题
1. 证明:若f??(x)存在,则线性插值余项为:
R(x)?解:
f??(?)(x?x0)(x?x1),x0???x1。 2!设R(x)?k(x)(x?x0)(x?x1),g(t)?f(t)?L1(t)?k(x)(t?x0)(t?x1),有
x0,x1,x为三个零点。应用罗尔定理,g??(t)至少有一个零点?,g??(?)?f??(?)?2!k(x)?0,k(x)?f??(?) 2!?y???10y2. 对初值问题:?,当0?h?0.2时,欧拉法绝对稳定。
?y(0)?1解:由欧拉法公式得:
n~yn?yn?1?ohy0?~y0。
当0?h?0.2时,则有
yn?~yn?y0?~y0。欧拉法绝对稳定。
练习题第2套参考答案 一、填空题
1.e?2.71828?具有3位有效数字的近似值是( 2.用辛卜生公式计算积分
(k?1)1。 ?10?2 )
2dx?01?x?(
11 )。
1?x?x 3.设A(k?1)k?1)(k?1),则apk?( x2?1 )。 ?(aij)第k列主元为a(pk 4.已知A???51?1(m?1)(m?1)(m)?? )b?ax?ax?ax,则( 。 A?3311322344?1a33?42?5.已知迭代法:xn?1??(xn),(n?0,1,?) 收敛,则??(x)满足条件( f(x0)?0 )。
二、单选题
1.近似数a?0.47820?10的误差限是( C )。 A.
21111?10?5 B.?10?4 C.?10?3 D.?10?2 2222 2.矩阵A满足( D ),则存在三角分解A=LR。
A.detA?0 B. detAk?0(1?k?n) C.detA?0 D.detA?0 3.已知x?(?1,3,?5),则xT1。 ?( B )
A.9 B.5 C.-3 D.-5
4.已知切线法收敛,则它法具有( A )敛速.
A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.设{Pk(x)}为勒让德多项式,则(P3(x),P5(x))?( B )。
A.
2222 B. C. D.
11579三、计算题
1.已知f(x)数表:
求抛物插值多项式,并求f(0.5)近似值。 解:利用反插值法得
x y 0 -2 1 0 2 4 11f(0)?N2(0)??(0?4)??(0?4)(0?2)?1.75
2242.已知数表:
求最小二乘一次式。
x y 0 1 1 3.2 2 4.8 ?4a0?6a1?48*解:由方程组:?,解得:a0?3,a1?6,所以g1(x)?3?6x。
?6a0?14a1?102
3.已知求积公式:出代数精度。 解:
11f(x)dx?Af(?)?Af(0)?Af()。求A0,A1,A2,使其具有尽可能高代数精度,并指012??1221I??
dx118881?[????]?0.4062,
02?x829101131
|R(f)|?
M21??0.00132 。
12?16768?410???4.用乘幂法求A?131的按模最大特征值与特征向量。 ????014??解:因为
?2?2??20??2??0??22?aa????22?22?11?3,a12?1,4A1???0?2??310??2???22??001??130???003?????2????0?????
?21?4,X1?(2,22,0)T所以:?XT2?3,2?(0,1,0)
?3?2,X3?(?222,2,0)T
5.用予估-校正法求初值问题:??y??2x?y在x?y(0)?1?0(0.2)0.4处的解。解:应用欧拉法计算公式:yn?1?0.2xn?1.1yn ,n?0,1,y0?1。 计算得y1?1.1,y2?1.23。
四、证明题
1.设?(A)是实方阵A的谱半径,证明:?(A)?A。 解:因为A=(A-B)+B,A?A?B?B, 所以A?B?A?B,
又因为B=(B-A)+A, B?B?A?A 所以B?A?B?A?A?B
B?A?A?B
2?220??4???01??0???0???00?30?02???
计算方法-东北师范大学考试及答案
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