《计算方法》练习题一
练习题第1套参考答案 一、填空题
1．??3.14159?的近似值3.1428，准确数位是（10 ）。
?2f??(?)。 (x?a)(x?b) ）
2!2 3．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P2(x),P2(x))?（ ）。
5 2．满足f(a)?c,f(b)?d的插值余项R(x)?（
4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。
5．欧拉法的绝对稳定实区间是（[?2,0] ）。 二、单选题
1．已知近似数a,b,的误差限?(a),?(b)，则?(ab)?（C ）。
A．?(a)?(b) Ｂ．?(a)??(b) Ｃ．a?(a)?b?(b) Ｄ．a?(b)?b?(a) 2．设f(x)?x?x，则f[1,2,3]?（A ）。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
2?31?3．设Ａ＝?． ?，则化Ａ为对角阵的平面旋转??（C ）
13??
Ａ．
???? Ｂ． Ｃ． Ｄ． 23464．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（B ）敛速．
Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次
5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（C ）.
A．o(h) Ｂ．o(h) Ｃ．o(h) Ｄ．o(h) 三、计算题
234?x1?x2?3?1．求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。
?x?x?22?1解：
?(x1,x2)?(x1?x2?3)2?(x1?2x2?4)2?(x1?x2?2)2，
由
?3x?2x2?9?????0,?0得：?1， ?x1?x22x?6x?92?1
解得x1?
189,x2?。 7142．用n?4的复化梯形公式计算积分解：
?211dx，并估计误差。 x?21dx18881?[1????]?0.697， x85672R(x)?M21。 ?12?1696
?2x1?5x2?3x3?6?3．用列主元消元法解方程组：?2x1?4x2?3x3?5。
?4x?6x?2x?423?1?2536??4624??4624????123???224? 解：2435??????????11??4624???224????回代得：x?(?1,1,1)
4．用雅可比迭代法解方程组：（求出x(1)T）。
?4?10??x1??1???14?1??x???3? ???2?????0?14????x3????1??解：因为Ａ为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。
1?(m?1)(m)x?(1?x)12?4??(m?1)1(m)雅可比迭代公式为：?x2?(3?x1(m)?x3),m?0,1,?。
4?1(m?1)(m)?x3?(1?x2)?4?取x x
5．用切线法求x?4x?1?0最小正根（求出x1）。
解：因为f(0)?1?0,f(0.5)??0.875?0，所以x?[0,0.5]，在[0,0.5]上，f?(x)?3x?4?0,f??(x)?6x?0。
*2(0)?(1,1,1)T计算得： ?(0.5,1.25,0.5)T。
(1)3
由f(x0)f??(x)?0，选x0?0，由迭代公式： xn?13xn?4xn?1?xn?,n?0,1,? 23xn?4 计算得：x1?0.25。
四、证明题
1． 证明：若f??(x)存在，则线性插值余项为：
R(x)?解：
f??(?)(x?x0)(x?x1),x0???x1。 2!设R(x)?k(x)(x?x0)(x?x1),g(t)?f(t)?L1(t)?k(x)(t?x0)(t?x1)，有
x0,x1,x为三个零点。应用罗尔定理，g??(t)至少有一个零点?，g??(?)?f??(?)?2!k(x)?0,k(x)?f??(?) 2!?y???10y2. 对初值问题：?，当0?h?0.2时，欧拉法绝对稳定。
?y(0)?1解：由欧拉法公式得：
n~yn?yn?1?ohy0?~y0。
当0?h?0.2时，则有
yn?~yn?y0?~y0。欧拉法绝对稳定。
练习题第2套参考答案 一、填空题
1．e?2.71828?具有3位有效数字的近似值是（ 2．用辛卜生公式计算积分
(k?1)1。 ?10?2 ）
2dx?01?x?（
11 ）。
1?x?x 3．设A(k?1)k?1)(k?1)，则apk?（ x2?1 ）。 ?(aij)第k列主元为a(pk 4．已知A???51?1(m?1)(m?1)(m)?? ）b?ax?ax?ax，则（ 。 A?3311322344?1a33?42?5．已知迭代法：xn?1??(xn),(n?0,1,?) 收敛，则??(x)满足条件（ f(x0)?0 ）。
二、单选题
1．近似数a?0.47820?10的误差限是（ C ）。 Ａ．
21111?10?5 Ｂ．?10?4 Ｃ．?10?3 Ｄ．?10?2 2222 ２．矩阵Ａ满足（ D ）,则存在三角分解A=LR。
A．detA?0 Ｂ． detAk?0(1?k?n) Ｃ．detA?0 Ｄ．detA?0 ３．已知x?(?1,3,?5)，则xT1。 ?（ B ）
Ａ．９ Ｂ．５ Ｃ．－３ Ｄ．－５
４．已知切线法收敛，则它法具有（ A ）敛速．
Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 ５．设{Pk(x)}为勒让德多项式，则(P3(x),P5(x))?（ B ）。
Ａ．
2222 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11579三、计算题
１．已知f(x)数表：
求抛物插值多项式，并求f(0.5)近似值。 解：利用反插值法得
x y ０ －２ １ ０ ２ ４ 11f(0)?N2(0)??(0?4)??(0?4)(0?2)?1.75
224２．已知数表：
求最小二乘一次式。
x y ０ 1 １ 3.2 ２ 4.8 ?4a0?6a1?48*解：由方程组：?，解得：a0?3,a1?6，所以g1(x)?3?6x。
?6a0?14a1?102
３．已知求积公式：出代数精度。 解：
11f(x)dx?Af(?)?Af(0)?Af()。求A0,A1,A2，使其具有尽可能高代数精度，并指012??1221I??
dx118881?[????]?0.4062，
02?x829101131
|R(f)|?
M21??0.00132 。
12?16768?410???４．用乘幂法求A?131的按模最大特征值与特征向量。 ????014??解：因为
?2?2??20??2??0??22?aa????22?22?11?3,a12?1,4A1???0?2??310??2???22??001??130???003?????2????0?????
?21?4,X1?(2,22,0)T所以：?XT2?3,2?(0,1,0)
?3?2,X3?(?222,2,0)T
５．用予估－校正法求初值问题：??y??2x?y在x?y(0)?1?0(0.2)0.4处的解。解：应用欧拉法计算公式：yn?1?0.2xn?1.1yn ，n?0,1，y0?1。 计算得y1?1.1,y2?1.23。
四、证明题
１．设?(A)是实方阵Ａ的谱半径，证明：?(A)?A。 解：因为A=(A-B)+B,A?A?B?B， 所以A?B?A?B，
又因为B=(B-A)+A, B?B?A?A 所以B?A?B?A?A?B
B?A?A?B
2?220??4???01??0???0???00?30?02???
计算方法-东北师范大学考试及答案
