2.2.1 对数与对数运算（3）
从容说课
本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用.
教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.
本课的重点是换底公式的应用及对数的应用问题；难点是换底公式的灵活运用.利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起着重要作用，在解题过程中应注意：（1）针对具体问题，选择恰当的底数；（2）注意换底公式与对数运算性质结合使用；（3）换底公式的正用与逆用.同时要注意解决实际问题的一般步骤：审题——设元、建模——解模、检验——还原.
三维目标
一、知识与技能
1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.
2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 二、过程与方法
1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.
3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.
三、情感态度与价值观
1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
教学重点
1.换底公式及其应用. 2.对数的应用问题. 教学难点
换底公式的灵活应用. 教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程 一、引入新课 师：我们学习了对数运算法则，可以看到对数的运算法则仅适用于对数的底数相同的情
形，若在解题过程中，遇到对数的底数不相同时怎么办？（产生认知冲突，激发学生的学习欲望）
从对数的定义可以知道，任何不等于1的正数都可以作为对数的底.数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数、自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出任意不为1的正数为底的对数.
二、讲解新课
（一）探求换底公式，明确换底公式的意义和作用 师：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
logcNlogaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.
logca（师生讨论并完成）
当a＞0，且a≠1时，若ab=N， ① 则logaN=b. ② 在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数， 则logcab=logcN， 即blogca=logcN.
logaN∴b=. ③
logcalogcN由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.
logcalogcN一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底
logca公式.
合作探究1：logab·logbc=? logab·logba=?
logaN合作探究2：证明logbN=（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1，N＞0）.
logab方法引导：关于对数换底公式的证明方法有很多，证明的基本思路就是借助指数式. 合作探究：换底公式有什么重大作用？ （生探究，得出如下结论）
结论：是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底问题，为使用运算法则创设条件，如换底公式可以解决如下问题：
1.（1）logab×logba=1；
（2）logambn=
nlogab（a、b＞0且均不为1）. m18的值，利用换底公式与对132.例如，求我国人口达到18亿的年份，就是计算x=log1.01
数的运算性质，可得
18lg18?lg131.2553?1.113918x=log1.01=13=≈=32.8837≈33（年）.
lg1.0113lg1.010.0043lg由此可得，如果人口年增长率控制在1%，那么从2000年初开始，大约经过33年，即
到2032年底我国的人口总数可达到18亿.
（二）换底公式的应用
（多媒体显示如下例题，生板演，师组织学生进行课堂评价） 【例1】 求log89×log332的值. 【例2】 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值. （2）log89·log2732. （3）（log25+log4125）·
log32.
log35（1）解：原方程等价于即log3m=2，∴m=9. （2）解法一：原式=解法二：原式=
lg4lg8lgm××=2， lg3lg4lg8lg9lg3221g351g210·=·=. lg8lg2731g231g39log29log2322log23510·=·=. log227log283log23935log3211（3）解：原式=（log25+log255）·=log2255·log52=log252·log52=
2log352255log25·log52=. 44方法引导：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.
知识拓展：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logamMn=logaN=
nlogaM及换底公式mlogbN1.利用换底公式可以证明：logab=，即logablogba=1. logbalogba（三）对数的应用问题
合作探究：现在我们来用已学过的对数知识解决实际问题.
【例3】 20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.
解：（1）M=lg20－lg0.001
20
=lg20000=lg2+lg104≈4.3. 0.001
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震. （2）由M=lgA－lgA0可得 =lg
M=lg
AA?=10M?A=A0·10M. A0A0当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0·107.6； 当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0·105. 所以，两次地震的最大振幅之比是 A1A0?107.67.6－5=102.6≈398. ==10
A2A0?105答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
合作探究：可以看到，虽然7.6级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以，7.6级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.
【例4】 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年.
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.
解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量.设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，1年后的残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：
死亡年数t 碳14含量P 1 x 2 x2 3 x3 … … t xt … … 因此，生物死亡t年后体内碳14的含量P=xt.
由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半， 所以
15730=x， 211=（）5730， 22t1于是x=57301这样生物死亡t年后体内碳14的含量P=（）5730.
21由对数与指数的关系，指数式P=（）5730可写成对数式t=log1P.
573022t湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，即P=0.767，那么t=log
5730120.767，
由计算器可得t≈2193.
所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址. （四）目标检测
1.课本P79练习第4题.
答案：（1）1；（2）1；（3）2.在
5. 41?logabalga1，，lognbna，logbnan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠
1?logabblogbalgb1，n∈N）中和logab相等的有
A.2个 B.3个 答案：A
3.若log34·log48·log8m=log42，求m.
答案：3.
C.4个 D.1个
4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；
a?b. 2（2）已知log1227=a，求log616. 答案：
4(3?a). 3?a三、课堂小结
1.换底公式及其应用条件（注意字母的范围）. 2.解决实际问题的一般步骤： 答案：
四、布置作业
（一）课本P86习题2.2A组第6、9、11、12题.
（二）1.已知log189=a，18b=5，求log3645.（用a、b表示） 2.计算：（log43+log83）（log32+log92）－log12432.
3.设3x=4y=6z，求证：板书设计
111－=. zx2y2.2.1 对数与对数运算（3）
一、换底公式
1.换底公式
2.换底公式的推导过程
3.使用换底公式应注意的地方 二、对数的应用问题 例1 例2
例3解析过程 例4解析过程 三、目标检测评析
四、课堂小结与布置作业
高中数学《对数函数-对数与对数运算》说课稿3 新人教A版必修1
