2ab3ca2b4设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2?22①，y1y2?22②， 2c(b?a)c(b?a2)又AF?2FB，F(?c,0)，所以y1??2y2③，
uuuruuur2ab34ab3y,y2代入②得 y??③代入①得y2?22，所以122，1c(a?b)c(a?b)8a2b6a2b4c1022?22?，整理得，所以． e??9c?10a22222c(a?b)c(b?a)a3故答案为：【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x得y的二次方程对解题有帮助，原因是由AF?2FB易得y1??2y2，结合韦达定理可得关于a,b,c的齐次式，从而求得离心率．
8．用MI表示函数y?sinx在区间I上的最大值，若正数a满足M?0,a??2M?a,2a?，则
10． 3uuuruuura的取值范围为________.
【答案】??5?13??, ?612??【解析】根据正弦定理在[0,??)上的单调性求解． 【详解】
因为y?sinx在[0,?2]上单调递增，所以
?2?[0,a]，若a?
?2
，则存在??0，使得
a???[a,2a]，且sin(a??)?M[0,a]，不合题意，所以M[0,a]?1，
5??a???15?13?6M?2MM??a?所以由?0,a?得，所以，解得． ??a,2a?[a,2a]132612?2a???6?故答案为：?【点睛】
本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．
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?5?13??,， ??612?9．四棱锥P?ABCD中，PA?BC?CD?2，PB?PC?PD?则四棱锥P?ABCD的体积为________. 【答案】3
7?AB?AD，
【解析】连接AC,BD交于点E，通过证明平面PCD?平面ABCD，过P作PO?平面ABCD，则O在AC上，连接BO,DO，利用?AOD??COD?180?，应用余弦定理求得各线段长，由VP?ABCD?VD?PAC?VB?PAC可得体积． 【详解】
连接AC,BD交于点E，由AB?AD,CB?CD知AC?BD，
E是BD中点，又PB?PD，所以PE?BD，又PEIAC?E，
所以BD?平面PAC，BD?平面ABCD，所以平面PCD?平面ABCD， 过P作PO?平面ABCD，则O在AC上，连接BO,DO，则
BO?DO?CO?7?PO2，AO?4?PO2，
a2?a2?42设CO?a，则AO?a?3，cos?COD?， ?1?222aa2cos?AOD?a2?3?a2?72a?3?a2?2a2?102aa?32，
因为cos?AOD??cos?COD，所以2a2?102aa2?3?2， 2a?1由a?0，解得a?2，所以AO?1，BO?CO?DO?2，PO?3，
SVPAC?1133，DE?BE?22?12?3， AC?PO??3?3?22211VP?ABCD?VD?PAC?VB?PAC??DE?SVPAC??BE?SVPAC33133133??3???3??3． 3232故答案为：3．
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【点睛】
本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
rrrr10．已知向量a，b满足a?1，b?3，若存在不同的实数?1，?2??1?2?0?，使得
?????【答案】??2,22???22,23?
urrurrrr【解析】设a?b?k，?c?a???c?b??0变形（数量积的运算）得?,?是方程
ii12urrurruruururrrci??ia?3?ib且ci?a?ci?b?0?i?1,2?，则c1?c2的取值范围是________.
6(k?3)x2?4(k?3)x?k?0的两根，利用韦达定理求得?1??2，则
uruurrrc1?c2??1??2a?3b可表示为k的函数，由k的范围可得结论，在题中注意k的范
围的确定． 【详解】
urrrrurrrrrr，由c1?a?(?1?1)a?3?1b，c1?b??1a?(3?1?1)b，设a?b?k（?3?k?3）
?urrurrc1?a?c1?b?0
???ur2rrurrr2得c1?(a?b)?c1?a?b?0，整理得6(k?3)?1?4(k?3)?1?k?0，同理6(k?3)?22?4(k?3)?2?k?0，
2所以?1,?2是方程6(k?3)x?4(k?3)x?k?0的两根，由?1?2?0得k?0，k??3方
程无解，故k?0且k??3，??8(k?3)(6?k)?0，
?1??2?，?1?2?23k，所以
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?1??2?(?1??2)2?4?1?2?8(k?3)(6?k)44k??， 96(k?3)6(k?3)rrrr2r2rrr2a?3b?(a?3b)?a?6a?b?9b?6(k?3)，
uruurrr所以c1?c2??1??2a?3b?6(k?3)?1??2?4(6?k)，由?3?k?3且3k?0得 uruurc1?c2的范围是[2,22)U(22,23]．
故答案为：[2,22)U(22,23]． 【点睛】
本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a?b?k后通过数量积的运算把?1,?2是方程6(k?3)x?4(k?3)x?k?0的两根，这样可用韦达定理求得
2rr?1??2，从而求得目
uruur标c1?c2关于k的函数．
x211．已知P是椭圆?y2?1上一动点，A??2,1?，B?2,1?，则cos?APB的最大值
4为________. 【答案】
6?2 4【解析】画出椭圆图形，设P?x0,y0?，过P作PH?AB交AB于H，由正切和角公式用x0,y0表示出tan?APB，结合椭圆的方程化为y0的表达式，利用换元法令
t?1?y0，将tan?APB转化为关于t的函数式，讨论t?0与t??0,2?两种情况，结
合基本不等式即可求得tan?APB的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得
cos?APB的最大值.
【详解】
根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：
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设P?x0,y0?，过P作PH?AB交AB于H， 则tan?APH?AHx0?2BH2?x0?tan?BPH??，， PH1?y0PH1?y0由正切和角公式可知tan?APB?tan??APH??BPH?
?tan?APH?tan?BPH
1?tan?APH?tan?BPHx0?22?x0?4?1?y0?1?y01?y0??
x0?22?x0?1?y?2?4?x21??001?y01?y0??x2x022而P?x0,y0?在?y02?1，则x02?4?4y02， ?y?1上，所以
44代入上式可得tan?APB?4?1?y0??1?y0??4?x022???4?1?y0??1?y0??4y022
由椭圆性质可知，y0???1,1?， 令t?1?y0,t??0,2?， 则tan?APB?4tt2?4?1?t?2?4t?3t2?8t?4，t??0,2?，
当t?0时，tan?APB?0，此时?APB??,cos?APB??1，
当t??0,2?时，由基本不等式可知
tan?APB?44????3t???8t???4?2?3， ?43?8当且仅当3t?423，即t?时取等号，此时cos?APB的值最大， t3第 10 页 共 24 页
2024届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
