2024届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高
考模拟数学试题
一、填空题
1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6
【解析】将原问题转化为Venn图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】
如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，
则有：
?a?b?c?x?14?b?d?e?x?10?， ?c?e?f?x?8???a?b?c?d?e?f?x?20?a?2b?2c?d?2e?f?3x?32即?，
a?b?c?d?e?f?x?20?即b?c?e?2x?12，当b?c?e?0时，x的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】
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本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】x??2
x2y2【解析】将双曲线方程化为标准方程得2?2?1，抛物线的准线为x??2a，联立
a3a?x2y2??PF1?PF2?12?2?2?1，解得x?3a，即点P的横坐标为3a，而由?，解得?a3aPF?PF?2a?2?1?y2?8ax?PF2?6?a，∴PF2?3a?2a?6?a，解得a?1，∴抛物线的准线方程为x??2，
故答案为x??2.
22ab3．已知实数a，b满足??1，当acos??2bsin?取最大值时，
82tan??________.
【答案】1
【解析】根据辅助角公式可得：
22a?4bacos??2bsin??a?2bsin??????a?2b?2?2，
2进而可求得答案 【详解】
a2b2由??1得a2?4b2?8，
82利用辅助角公式可得：
22a?4bacos??2bsin??a?2bsin??????a?2b?2?2，
2其中tan?????a， ???0,?.
?2?2b所以最大值为2，当且仅当a?2b?2，sin??????1时成立， 此时tan??1，故???4，所以sin?????????1， 4?第 2 页 共 24 页
则???4?2k?，k?Z，则tan??1，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
4．已知等差数列?an?满足：a1?a5?8，则a1?a2的最大值为________.
22【答案】5
【解析】设等差数列?an?的公差为d，根据a1?a5?8，利用平方关系，设
22a1?22cos?,a5?22sin?，则a1?a2?再利用三角函数的性质求解. 【详解】
设等差数列?an?的公差为d， 因为a1?a5?8，
22722cos??sin??5sin?????，22由cos2??sin2??1，设a1?22cos?,a5?22sin?， 则a2?a1?d?a1?1322cos??sin?， ?a5?a1??422所以a1?a2?当????722cos??sin??5sin?????,tan??7， 22?2?2k?,k?Z时，a1?a2的最大值为5.
故答案为：5. 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数f?x???x?1?e?xa2xe?ax只有一个极值点，则实数a的取值范围为2________.
【答案】a?0或a?1 2【解析】首先对函数求导，观察得到f'(0)?0，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.
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2024届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
