解析几何中最值问题的解题策略
圆锥曲线中最值问题的基本解法有几何法和代数法。其中，代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数，通过运用基本不等式或构造函数等来求解函数的最值。下面我们来介绍运用基本不等式的方法来解决圆锥曲线的一个优美性质。
x2y23例题1.已知A(0,2)，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点，直线AF
2ab的斜率为，是坐标原点。
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线及相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求的方程。 解：（1）
（2）由题意直线的斜率存在，设l:y?kx?2
联立消得(4k?1)x?16kx?12?0，??16(4k2?3)?0,得k2?223 416(4k2?3)?2|PQ|=1+k|x1?x2|?1+k|2|?1+k|| 24k?14k?122原点到直线PQ的距离
所以S?OPQ16(4k2?3)2?2?4k2?34?4k2?31?|PQ|?d????1 22224k?14k?14k?12当2?4k?3即时，取等号，此时 先来解析这道题，应用了两个公式： 一.弦长公式|PQ|=1+k|x1?x2|?1+k|二.基本不等式ab?22?|,a是x2的系数 aa?b,a?0,b?0,当a?b时，不等式式取“=”号 2我们运用这两个知识来证明该题型具有的一般性结论
x2y2例题2.已知E:2?2?1(a?b?0)，设过点A(0,m)的动直线及相交于P,Q两点，当
ab?OPQ的面积最大时，求的方程。
解：由题意直线的斜率存在，设l:y?kx?m
联立消得(ak?b)x?2abkmx?am?ab?0，
22222222221 / 5
m2?b2??4ab(ak?b?m),k?
a22222222?|PQ|=1+k|222|?1+k2ak?b24a2b2(a2k2?b2?m2) 222ak?b原点到直线PQ的距离 所以
S?OPQ11+k2?|PQ|?d?224a2b2(a2k2?b2?m2)|m|m2(a2k2?b2?m2)??ab2a2k2?b2a2k2?b21+km2?(a2k2?b2?m2)ab? ?ab
2(a2k2?b2)2当a2k2?b2?m2?m2，即a2k2?b2?2m2时，取等号。由此我们得出一个一般性结论： 若直线的斜率k为定值，当时，S?OPQ有最大值
ab 2ab 2若直线的截距m为定值，且满足2m2?b2，当时，S?OPQ有最大值若2m2?b2，当时，S?OPQ取不到最大值
ab，此时不能用基本不等式求最值。我们得探索2其他求最值的方法，用构造函数法或放缩法可以证明，当k=0时，S?OPQ有最大值，下面我们再看一道例题。
22例题3已知动圆及圆F1:(x?2)?y?49相切，且及圆F2:(x?2)2?y2?1相内切，记圆
心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程；（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作OQ的平行线交曲线于M,N两个不同的点, 求△QMN面积的最大值． （1）设圆的半径为, 圆心的坐标为(x,y)，
22由于动圆及圆F1:(x?2)?y?49相切，且及圆F2:(x?2)2?y2?1相内切，
结合图像可知，动圆及圆只能内切.且 则|PF1|?|PF2|?6?|F1F2|?4.
所以圆心的轨迹是以点F1,F2为焦点的椭圆,
222且a?3,c?2, 则b?a?c?5.
所以曲线的方程为.
（2）设M(x1,y1), N(x2,y2), Q(x3,y3)，直线MN的方程为x?my?2，
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由可得（5m29）y220my250，
20m25. ,yy?? 则y1?y2??12225m?95m?9所以MN1m2y1y224y1y2
2
1m220m5m29100 5m29
因为MN//OQ，所以△QMN的面积等于△OMN的面积. 点到直线MN:x?my?2的距离. 所以△QMN的面积S
令m2?1?t，则m2?t2?1(t?1) ，S1MNd2130(m21)25m292m2130m21. 25m930t5t21930t5t24305t4t.
5t245设，则ft.
t2因为t1, 所以所以在1,上单调递增.
4t2所以当t1时, ft取得最小值, 其值为.所以△QMN的面积的最大值为
1OF2y12y2y1y2230. 9说明: △QMN的面积S4y1y230m21. 5m292例题4已知椭圆E的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且抛物线x??42y的焦点是它
的一个焦点，又点A(1,2)在该椭圆上。
（1）求椭圆E的方程；（2）若斜率为的直线及椭圆E交于不同的两点B，C，当△ABC的面积最大时，求直线的方程。
例题5．设椭圆中心在坐标原点，A（2,0），B（0,1）是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）及AB相交于点D，及椭圆相交于E,F两点。
（1）ED?6DF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值；
例题6在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°． （Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1及椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）及椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示． （ⅰ）证明：m1+m2=0；
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