(2024年整理)考研数学《线性代数》考点知识点总结

第一章 行列式 二元线性?a11x?a12y?b1 ?方程组： ?a21x?a22y?b2排列的逆t?序数： nD?a11a12b1，D1?a21a22b2a12a11b1，D2? a22a21b2x?D1D，y?2 DD?ti（ti为排列p1p2?pn中大于pi且排于pi前的元素个数） t?1t为奇数奇排列，t为偶数偶排列，t?0标准排列。 n阶行列D?det(aij)?式： ?a11a21an1a12?a1na22?a2n??an2?annt=?(?1)a1p1a2p2?anpn tt为列标排列的逆序数． 定理1： 排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性 推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数 定理2： n阶行列式可定义为D??(?1)ap11ap22?apnn=?(?1)a1p1a2p2?anpn． 1．D=DT，DT为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变) 2．互换行列式的两行(列)，行列式变号． 记作：ri?rj（ci?cj）?D??D． 推论：两行(列)完全相同的行列式等于零． 记作：ri?rj（ci?cj）?D??D?0． t3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k． 推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面． 记作：kD?ri?k（kD?ci?k）． 记作：kD?ri?k（kD?ci?k）． 4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：rj?ri?k（cj?ci?k）?D?0． 行列式的性质： 5．D?a11a21??i)?a1na12?(a1i?a1?i)?a2na22?(a2i?a2???a11?D?a21?an1a12?a1i?a1na11a22?a2i?a2na21?????an2?ani?annan1?i?a1na12?a1?i?a2na22?a2?an2????ann?ani?)?annan1an2?(ani?ani上式为列变换，行变换同样成立． 6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 记作：ci?ci?kcj(ri?ri?krj)，D不变． 注：任何n阶行列式总能利用行运算ri+krj化为上(下)三角行列式． 对角行列式 上D（下DT）三角形行列式 ?1?2?00??1?2??n，0?1?2??(?1)0a11?a1kD1?det(aij)???ak1?akkb11?b1nD2?det(bij)???bn1?bnnn(n?1)2a110a22??an2?anna??abcd?2n?1?2??n D?a21?an1?a11a22?ann ?na11?a1k??ak1?akk?nb若对D?c11?c1kb11?b1k????ck1?ckkbk1?bkk设， 若2n阶行列式D2n?， ?cd?????????有D2n=(ad-bc)n． 则有D=D1D2． 余下n-1阶行列式． 余子式： n阶行列式中把aij所在的第i行和第j列去掉后，引理： n阶行列式D中，若第i行所有元素除aij外都为零，则有D?aijAij． 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和． 定理3： (代数余子式性质) 代数余子式： Aij?(?1)i?jMij 推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零． n?1,当i?j,?D,当i?j,n?D,当i?j,或?aikAjk?D?ij??其中?ij?? ?akiAkj?D?ij??k?1k?1?0,当i?j.?0,当i?j;?0,当i?j;1x1范德蒙德Dn?x12行列式： ?x1n?11x22x2?n?1x21x32x3?n?1x3???1xn2＝?(xi?xj)．证明用数学归纳法． xnn?i?j?1?n?1?xn?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,a11?a1n?ax?ax???ax?b,?2112222nn2设方程组?，若D????0，则方程组有惟一解： ???????????an1?ann克拉默法?ax?ax???ax?bnnnn?n11n22则： a11?a1,j?1b1a1,j?1?a1nDnD1D2???? (j?1,2,?,n)． ，其中Dj??x1?,x2?,?,xn?DDDan1?an,j?1bnan,j?1?ann定理4： 若上线性方程组的系数行列式D?0，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则D?0． 定理5： 若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式D?0，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则D?0． 第二章 矩阵及其运算 n阶单位矩阵(单位阵)： 对角矩阵(对角阵)： 纯量阵： ?1??0E?????0?0?0??1?0? ????0?1???λ1??0Λ?????0?0?λ2??00??0? ????λn???λ??0?E?????0?0?0??λ?0? ????0?λ??EA?AE?A． 另可记作Λ?diag(?1,?2,?,?n)． (?E)A??A，A(?E)??A． 矩阵与矩阵相乘： 若Α?(aij)是一个m?s矩阵，B?(bij)是一个s?n矩阵，且C?AB，则C?(cij)是一个m?n矩阵，且cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsjT(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)．若AB?BA，称A与B是可交换的． 矩阵转置： 若Α?(aij)，则Α?(aji) (A?B)T?AT?BT，(AB)T?BTAT 若A?AT，A为对称阵 方阵行列式的运算规律： 1．A?A； 2．?A??nA； 3．AB?AB，AA?1T方阵的行列式： n阶方阵A元素构成的行列式，记A或detA． ?A11??A12*伴随矩阵： A?????A?1nAij为行列式A中对应元素的 A21?An1??A22?An2?代数余子式． ????AA*?A*A?AE A2n?Ann???1． 逆矩阵： 若AB?BA?E，则A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的． 定理1： 若矩阵A可逆，则A?0． ?1定理2： 若A?0，则矩阵A可逆，且A?1*A． A奇异矩阵： 当A?0时，A称为奇异矩阵． ?1?1?1运算规律： 1．(A)?A；2．(?A)?矩阵A可逆的充要条件：A?0，即矩阵A是非奇异矩阵。 1?A?1；3．(AB)?1?B?1A?1；4．(AT)?1?(A?1)T． 多项式可相乘或分解因式 ?(A)f(A)?f(A)?(A)，2m矩阵A的m次多项式： ?(A)?a0E?a1A?a1A??amA kk?1kk?1，则Λk?diag(?1,?k1．若A?PΛP，则A?PΛP， 2．Λ?diag(?1,?2,?,?n)（对角阵）2,?,?n), ?(A)?P?(Λ)P?1． 加减相乘与矩阵相同。 ?(A)?diag(?(?1),?(?2),?,?(?n))． 分块对角矩阵：（其中A以及Ai均为方阵） ?A11?A1r???若A?????， 分块矩阵?A?A?sr??s1的运算规律： TT?A11??A1r??T?? 则A????AT?AT?sr??s1T?α1??T??α???2?， ????αT??m??A1??A????0?A2?10??A1?????1，若，则A?0A????????0As??1A?20??? ????1?As?性质：A?A1A2?As，且Ai?0(i?1,2,?,s)，则A?0． A?(a1,a2,?,an) 列向量： Am?n行向量： αiT?(ai1,ai2,?,ain) ?a1j????a2j?aj??? ????a??mj?ΛmAm?nT??1α1???T??α???22? ?????αT??mm?若AA?0， 则A?0． TAΛn?(?1a1,?2a2,?,?nan) 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 ；3．ri?krj(ci?kcj)． 矩阵的初等变换： 初等行(列)变换：1．ri?rj(ci?cj)；2．ri?k(ci?k)（k?0）r c ；等价：矩阵间等价： 行等价：A~（矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B） B；列等价：A~BA~B．行阶梯型矩阵： 阶梯线下为零，一行一台阶，竖线后非零元。 行最简形矩阵：竖线后非零元为1，同列其它元为0． ?Er?F?标准型： ?0?初等矩阵： 0?矩阵Am?n经初等变换总能化为标准型F． ?F?E或 r0??m?n等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。 单位矩阵E经一次初等变换所得矩阵E(f)（f为变换规则）： E(i,j)：E(i(k))：E(ij(k))：1．2．)k?0）；3． ri?rj(ci?cj)；ri?krj(kci?cj)．ri?k(ci?k（方阵A可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵E1(f)。E2(f)，…，El(f)，使A=E1(f)E2(f)…El(f)． rE． 推论2：A~B?存在可逆矩阵P与Q，使PAQ=B． 推论1：方阵A可逆?A~r· r(E，A-1B)，r(E，x) 方阵A可逆，则(A，E)～(E，A-1)． (A，B)～Ax?b，x=A-1b?(A，b)～· · · 定理1： 矩阵A初等行变换，初等矩阵左乘E(f)A；初等列变换，初等矩阵右乘AE(f)． 定理2： 重要性质： ?A?c?E?rT?1TT?1TTTT?1T???Y?CA??~?C??CA?1?或Y?(CA)?(A)C?(A,C)~(E,(A)C) ?????1矩阵的标准型F中非零行的行数r，记R(A)．且r+1阶子矩阵A的取A中k行与k列交叉处的k2个元素且秩： 式全等于零，r阶非零子式称A的最高阶非零子式。 k阶子式： 不改变对应位置组成的k阶行列式。