据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型： （结果四舍五入到整数） ?i?预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；
?ii?若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分
布列和期望.
附：若随机变量X服从正态分布
N?,?2，
??，则P?????X??????0.6826，
.
.求角的大小；设
,且满足
P???2??X???2???0.954421．（12分）在
中，角
P???3??X???3???0.9974所对的边分别为，且
的最大值是，求的值.
22．（10分）如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.
注：年份代码1:7分别表示对应年份2012?2018.由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数r（
r?0.75线性相关较强）加以说明；建立y与t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019
年该区生活垃圾无害化处理量.
?yi?9.32i?127，
??ti?t??yi?y??2.89i?17，??yi?y?i?172?0.55，
??t?t?ii?1n72?2?2.646，
??ti?t?i?17?282.892.89?0.99?0.103，2?2.646?0.55，28.相关系数
r???t?t??y?y?iii?1??ti?t???yi?y?i?1i?1n2n2，在回归方程y?bt?a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
$$$$?b??ti?1ni?ti??y?y?i??ti?1n?t?2$$，a?y?bt.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 2．D
3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．A 11．B 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．1
14．[3,27] 15．
?1,2?
16．180
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）A?【解析】
分析：（1）由两角和差公式得到cosA??3（2）b?c?43 1，进而得到角A的值；（2）结合第一问和三角形的面积公式得222到bc?12，由余弦定理得到a2??b?c??3bc，则?b?c??a2?3bc?48，可得b?c?43． 详解：
(1)在VABC中， A?B?C??，那么由sinB?sinC?sin?A?C?，可得
sin?A?C??sinC?sin?A?C?， sinAcosC?cosAsinC?sinC ?sinAcosC?cosAsinC
∴2cosAsinC?sinC?0，∴cosA? (2)由(1)知A?1?，∴在VABC中， A?． 23?3，且SVABC?1bcsinA?33，得bc?12，由余弦定理得 2222a2?b2?c2?2bccosA，那么， a2?b2?c2?2bccosA ?b?c?bc??b?c??3bc，
则?b?c??a2?3bc?48，可得b?c?43．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b 、a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
22218． (1)cos?;(2) ?【解析】
43. 7
【试题分析】（1）依据题设运用三角函数的诱导公式求解；（2）借助题设条件，直接代入求值：
3???sin?7?????cos?????cos?3????sin??????sin??cos?????2??? （1）f????3??5???????sin???cos??cos?????tan???cos?????tan???5??222???????sin??sin????cos???cos? sin?cos????sin???cos??3??11cos?????sin???2?7得，7，∵?是第二象限，（2）由
43?1?cos???1?sin2???1?????7. ?7?∴
19．（Ⅰ）
2（Ⅱ）的分布列为 的数学期望E??2 【解析】 【详解】
试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率p；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数?的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出?取各个值时所对应的概率，就可得到?的分布列．
试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B. 由题意得(1?P(B))?(1?p)?（II）由题设知（I）知P(A)?220 1 2 3 3531解得p?或（舍去），所以乙投球的命中率为. 164441131，P(A)?，P(B)?，P(B)?， 2244?可能取值为0,1,2,3
故P(??0)?P(A)P(B?B)?1121?()?， 24321123117?()?2????， 24442321P(??1)?P(A)P(B?B)?C2P(B)?P(B)?P(A)?139P(??3)?P(A)P(B?B)??()2?
2432P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?15 32?的分布列为
考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列. 20．（I）
29；（II）?i?1683;?ii?详见解析. 1650【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据古典概率概率公式求解即可得到结果；（Ⅱ）先根据频率分布直方图得到平均数X?185个，
．结合题意得到正式测试时??195,??13?i?根据正态曲线的对称性可得P???182??0.8413，由此可
预计所求人数；?ii?由题意得?~B?3,0.5?，根据独立重复试验的概率可得当?分别取0,1,2,3时的概率，然后可得分布列及期望． 【详解】
（Ⅰ）设“两人得分之和不大于35分”为事件A，则事件A包括两种情况：①两人得分均为17分；②两人中1人得17分，1人得18分．
211C6?C6C1229?由古典概型概率公式可得P?A??， 2C1001650所以两人得分之和不大于35分的概率为
29． 1650（Ⅱ）由频率分布直方图可得样本数据的平均数为
X?160?0.06?170?0.12?180?0.34?190?0.30?200?0.1?210?0.08
， ?185（个）
又由S?169,得s?13， 所以正式测试时??195,??13，
2∴????182．
?i? 由正态曲线的对称性可得P(??182)?1?1?0.6826?0.8413,
2∴0.8413?2000?1682.6?1683（人），
所以可预计全年级恰有2000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数为1683人．
?ii?由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，
所以?~B?3,0.5?,
0∴P???0??C3??1?0.5??0.125, 1P???1??C3?0.5??1?0.5??0.375,
232P???2??C3?0.52??1?0.5??0.375, 3P???3??C3?0.53?0.125．
∴ ?的分布列为
? P 0 1 2 3 0.125 0.375 0.375 0.125 ∴E?X??3?0.5?1.5． 【点睛】
（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力，以解答题为主，中等难度．
（2）利用正态曲线的对称性求概率的方法
解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，一般要借助图形判断、分析，解题时要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质． 21．（1）【解析】 【分析】
(1)先利用正弦定理将边角关系转化为角的关系：及诱导公式化简得
，即
，再根据两角和正弦公式
，从而可得结果；(2)先根据向量数量积化简
,其中
，
（2）
，再利用二倍角公式及换元转化为一元二次函数
【附15套精选模拟试卷】广东珠海二中2020年高等学校招生统一考试模拟数学(理)试卷含解析
