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专题 04 立体几何
大题肢解一
立体几何
（ 2020 湖北武昌区高三元月调考） 如图， 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，A1 A ? AB ? AC ? 2 ， D ， E ， F 分别为 AB ， BC ， B1B 的中点.
（1） 证明：平面 A1C1F ? 平面 B1DE ； （2） 求二面角 B ? B1E ? D 的正弦值.
【肢解 1】证明：平面 A1C1F ? 平面 B1DE ； 【肢解 2】求二面角 B ? B1E ? D 的正弦值.
【肢解 1】证明：平面 A1C1F ? 平面 B1DE ；
【解析】（1）因为 AC ? AB ， DE // AC ，所以 DE ? AB . 因为 AA1 ? 平面 ABC ， DE ? 平面 ABC ，所以 AA1 ? DE . 因为 AB ? AA1 ? A ，所以 DE ? 平面 AA1B1B . 因为 A1F ? 平面 AA1B1B ，所以 DE ? A1F . 易证 DB1 ? A1F ，因为 DB1 ? D1E ? D ， 所以 A1F ? 平面 B1DE . 因为 A1F ? 平面 A1C1F ， 所以平面 A1C1F ? 平面 B1DE .
AC ? AB ，
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【肢解 2】求二面角 B ? B1E ? D 的正弦值.
【解析】方法一：过 B 作 BH ? B1D ，垂足为 H ，过 H 作 HG ? B1E 于G ，连结 BG ，
则可证?BGH 为二面角 B ? B1E ? D 的平面角.
在Rt?B 1BD 中，求得 BH ??
25
；在Rt?B1BE 中，求得 BG ?
2 2
6
.
所以sin ?BGH ? BH
??15 BG
.
5 方法二：因为直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AC ? AB ， AA1 ? 平面 ABC ， 以 AC 、 AB 、 AA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，
因为 A1 A ? AB ? AC ? 2 ， D ， E ， F 分别为 AB ， BC ， B1B 的中点. 所以 B(0,2,0) ， D(0,1,0) ， B1 (0,2,2) ， E(1,1,0) ， 所以 B1E ? (1,?1,2) ， BE ? (1,?1,0) ， DE ? (1,0,0) ，
设平面 BB1E 的一个法向量为 m ? (x1 , y1 , z1 ) .
??m ? B1E ? (x1 , y1 , z1 ) ? (1,?1,2) ? x1 ? y1 ? 2z1 ? 0 所以??，令 ?x? BE ? (x1 ? 1，则 y1 ? 1 ，?m 1 , y1 , z1 ) ? (1,?1,0) ? x1 ? y1 ? 0
z1 ? 0 ，
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所以 m ? (1,1,0) .
设平面 DB1E 的一个法向量为 n ? (x2 , y2 , z2 ) .
??m ? B1E ? (x2 , y2 , z2 ) ? (1,?1,2) ? x2 ? y2 ? 2z2
所以????m ? DE ? (x2 , y2 , z2 ) ? (1,0,0) ? x2 ? 0
所以 n ? (0,2,1) .
设二面角 B ? B1E ? D 为?，依题意???(0, ) ，
2
? 0
，令 z2 ? 1，则 y2 ? 2 ，
??
?
所以cos???
? (0,2,1) | 10 | m ? n | ? | (1,1,0) . 2 2 2 2 ??5| m | ? | n | 1?1? 2?1
15 10 2
)??. 5 5
所以二面角 B ? B1E ? D 的正弦值为 1? (
判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．
设向量为 m 平面?的法向量为，向量 n 为平面?的法向量，平面?与平面?所称的二面角为?， 则0
??? ?； cos?1 ? cos ? m, n ??
m?n
. 所以???1 或???1 .
| m | ? | n |
【拓展 1】如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中，AC ? AB ，A1 A ? AB ? AC ? 2 ，D ，E ，F 分别为 AB ，BC ， B1B 的中点.
（1） 证明：平面 ABB1 A1 ? 平面 B1DE ；
（2） 求 DE 与平面 BB1E 所成角的正弦值..
2020年高考数学(理)大题分解专题04 立体几何
