高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。 例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
23和.假设两人射击是否击中目34标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率．．．是多少?
解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A为“4次均击
65?2?中目标”，则P?A??1?PA?1????
381????4（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
11?2??1?3?3?P?B??C???????C4?????
?3??3??4?4824223（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
2??3?231?3?1?451故P?C??????C2????????
444441024????????例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区
中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率； （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
4
解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为3.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等. （I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C4?3!（从4个部门中任选2个作为1组，
另外2个部门各作为1组，共3组，共有C4?6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为
2C4?3!4?. P（A1）=49322（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2
31，事件A2的概率为 ?34274114P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=1???.
92727和A3，则事件A3的概率为P（A3）=
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为3(C4?2!?C4).（先从3个景区任意选
2定2个，共有C3?3种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，
12从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C4?2!种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外
223(C4?2!?C4)14?. 2个部门在另1个景区，共有C种不同选法）.所以P（A2）=4273241例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为
0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没
有影响
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）
解：记“甲理论考核合格”为事件A1；“乙理论考核合格”为事件A2；“丙理论考核合格”为事件A3；记Ai为Ai的对立事件，i?1,2,3；记“甲实验考核合格”为事件B1；“乙实验考核合格”为事件B2；“丙实验考核合格”为事件B3；
（Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为C的对立事件 解法1：P?C??PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?P?A1A2A3?
?0.9?0.8?0.3?0.9?0.2?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.8?0.7
?0.902 解法2：P?C??1?PC?1?PA1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
?????????????1??PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?
???????????1??0.1?0.2?0.3?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.1?0.2?0.7?
?1?0.098?0.902
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902
（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D
P?D??P???A1?B1???A2?B2???A3?B3????P?A1?B1??P?A2?B2??P?A3?B3?
?P?A1??P?B1??P?A2??P?B2??P?A3??P?B3?
?0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9
?0.254016?0.254
所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254
题型二：概率与排列组合、等差数列、等比数列的综合。
例4：将1，2，3，…，9，这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A、
1111 B、 C、 D、
336567042033C9?C6解析：共有三组的平均值可能是456，357，258，348，267，?280种分组的方法，3A3且各有一种分组的方法，所求的概率为
51，故选A ?280563，按照向量5例5：从原点出发的某质点M，按照向量a?(1,0)移动的概率为
b?(2,0)移动的概率为
2，设可到达点(n,0)的概率为Pn． 5（Ⅰ）求概率P1、P2；
（Ⅱ）求Pn?2 与Pn、Pn?1 的关系并证明数列?Pn?2?Pn?1?是等比数列； （Ⅲ）求Pn．
解 (Ⅰ)M点到达点(1,0)的概率为P1?3；M点到达点(2,0)的事件由两个互斥事5件组成：①A=“M点先按向量a?(1,0)到达点(1,0)，再按向量a?(1,0)到达点(2,0)”，此时P(A)?()2；
②B=“M点先按向量b?(2,0)移动直接到达点(2,0)”，此时P(B)?352。 53219P2?P(A)?P(B)?()2??
5525(Ⅱ) M点到达点(n?2,0)的事件由两个互斥事件组成：
①An?2?“从点(n?1,0)按向量a?(1,0)移动到达点(n?2,0)”，此时P(An?2)?②Bn?2?“从点(n,0)按向量b?(2,0)移动到达点(n?2,0)”，此时P(Bn?2)?3 Pn?1；
52Pn。 5
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