极点与极线背景下的高考试题
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
1.从几何角度看极点与极线
A P 定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引
E 两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接EH,FG
F 交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线. N 若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.
G 由图1同理可知， PM为点N对应的极线，PN为点M所
H B 对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线 于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.
M 定理1 (1)当P在圆锥曲线?上时，则点P的极线是曲线
图1 ?在P点处的切线；
(2)当P在?外时，过点P作?的两条切线，设其切点分别为A,B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；
(3) 当P在?内时，过点P任作一割线交?于A,B，设?在A,B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.
定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线?的极线为l，过点P任作一割线交?于A,B，
PAPB?交l于Q，则 ①；反之，若有①成立，则称点P,Q调和分割线段AB，或称点AQBQP与Q关于?调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线 P ?的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线?的调
A 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.
Q 推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线?的调和共轭 l 211??点为点Q，则有 ②；反之，若有②成立， PQPAPBB 则点P与Q关于?调和共轭. 图2
可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
AQBQPQ?PAPB?PQPQPQ11?????1?1??PQ?(?)?2 PAPBPAPBPAPBPAPB211???.
PQPAPB特别地，我们还有
推论2 如图3，设点P关于有心圆锥曲线?(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，
PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR2?OP?OQ ，反之若有此式成立，则点P与Q关于?调和共轭.
证明：设直线PQ与?的另一交点为R?，则
P PRPR?OP?OROP?OR???，化简 RQR?QOR?OQOR?OQR
1
Q O R
R?
即可得OR?OP?OQ.反之由此式可推出
2PRPR??，即点P与Q关于?调和共轭. RQR?Q推论3 如图4，A,B圆锥曲线?的一条 对称轴l上的两点(不在?上)，若A,B关于?调 和共轭，过B任作?的一条割线，交?于P,Q 两点，则?PAB??QAB.
P 证明：因?关于直线l对称，故在?上存在
Q?P,Q的对称点P?,Q?.若P?与Q重合，则Q?与P
Rl 也重合，此时P,Q关于l对称，有?PAB??QAB；
A B 若P?与Q不重合，则Q?与P也不重合，由于A,B
Q 关于?调和共轭，故A,B为?上完全四点形PQ?QP?
P?的对边交点，即Q?在PA上，故AP,AQ关于直线l R 4 图对称，也有?PAB??QAB.
定理3 (配极原则)点P关于圆锥曲线?
的极线p经过点Q?点Q关于?的极线q经过点P；直线p关于?的极点P在直线q上?直线q关于?的极点Q在直线p上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2 已知圆锥曲线?:Ax2?Cy2?2Dx?2Ey?F?0，则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x?Cy0y?D(x?x0)?E(y?y0)?F?0是圆锥曲线?的一对极点和极线.
x?x22事实上，在圆锥曲线方程中，以x0x替换x，以0替换x，以y0y替换y ，以
2y0?y替换y即可得到点P(x0,y0)的极线方程. 2特别地：
xxyyx2y2(1)对于椭圆2?2?1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1；
ababxxyyx2y2(2)对于双曲线2?2?1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1；
abab2(3)对于抛物线y?2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y?p(x0?x). x2y2(4)如果圆锥曲线是椭圆2?2?1，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为椭圆
abx2y2的准线；如果圆锥曲线是双曲线2?2?1，当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线恰为
abp2双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线y?2px，当P(x0,y0)为其焦点F(,0)时，极线
2恰为抛物线的准线.
3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题
2
x2y2??1【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆95的左右顶点为A,B，右焦点为F．设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，其中m?0，y1?0，y2?0．
(1)设动点P满足PF2?PB2?4，求点P的轨迹；
分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当t?9时，T点坐标为(9,m)，
1，求点T的坐标； 3(3)设t?9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
(2)设x1?2，x2?连MN，设直线AB与MN的交点为K，根据 极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过K， 又点T对应的极线方程为
y M A O K N 图5
B T(t,m)
9?xm?y??1，即 95x m?y?1，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)， 5从而直线MN也恒过定点K(1,0). x?x2y2 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且左焦
ab点为F1(?2,0).
(1)求椭圆C的方程；
(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C交于两个不同的点A,B时，在线段AB上取点
uuuruuuruuuruuury Q，满足AP?QB?AQ?PB，证明点Q总在某定直线上. x2y2??1. 分析与解：(1)易求得答案42uuuruuurPAPB(2)由条件可有uuur?uuur，说明点P,Q关于
AQBQ圆锥曲线C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点
P O Q A . B x
4?x1?y??1，化简得2x?y?2?0. 42 故点Q总在定直线2x?y?2?0上.
P对应的极线，即
图6
x2y2xy??1，直线l:??1，P是l上一【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆C:24161282点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足OQ?OP?OR，当点P在l上移
动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.
分析与解：由条件知OR?OP?OQ可知点P,Q关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.
设P(12t,8?8t)，则与P对应的极线方程为
212t?x(8?8t)?y??1，化简得 2416 tx?(1?t)y?2 ③
O
3
y Q R . P x
图7
又直线OP的方程为y?8?8tx，化简得 12ty?2?2tx ④ 3t解由③④联立方程组得
6t?x??(x?1)2(y?1)2?5t2?4t?222??1(x,y，消去t得2x?3y?4x?6y，可化为?55?x?4?4t23?5t2?4t?2?不同时为0)，故点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为轴的椭圆，但需去掉坐标原点.
【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线x?4y
21015和，且长轴平行于x23y B uuuruuur的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF??FB
F (??0)，过A,B两点分别作抛物线的切线，并设其交点
A 为P. x uuuruuurO (1)证明FP?AB为定值；
P (2)设?ABP的面积为S，写出S?f(?)的表达式， 并求S的最小值.
图8
分析与解：(1)显然，点P的极线为AB，故可设点
P(x0,?1)，再设A(x1,y1),B(x2,y2)，F,A,B三点对应的极线方程分别为y??1，x1x?2(y1?y)，x2x?2(y2?y)，由于A,B,F三点共线，故相应的三极线共点于
?xx?2(y1?1)P(x0,?1)，将y??1代入后面两个极线方程得?10，两式相减得
?x2x0?2(y2?1)(x1?x2)x0?2(y1?y2).
uuuruuuruuuruuur又FP?(x0,?2),AB?(x2?x1,y2?y1)，故FP?AB?x0(x2?x1)?2(y2?y1)?0. (2)设AB的方程为y?kx?1，与抛物线的极线方程x0x?2(y0?y)对比可知直线AB2对应的极点为P(2k,?1)，把y?kx?1代入x?4y并由弦长公式得AB?4(1?k)，所
21ABFP?2(1?k2)4(1?k2). 2y 显然，当k?0时，S取最小值4. B 2【例5】(2005江西卷理22)设抛物线C:y?x 的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，
l F 过P作抛物线的两条切线PA,PB，且与抛物线分别
A x 相切于A,B两点. O (1)求?APB的重心G的轨迹方程； P (2)证明?PFA??PFB.
分析与解：(1)设点P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)， 图9 y?y1?x0x对比可知直线l:x?y?2?0对应的极点为(,2)，P为直线l上的动点，与0221
则点P对应的极线AB必恒过点(,2).
2
以S?ABP?
4
k?21k2设AB:y?2?k(x?)，可化为?x，故直线AB对应的极点为222kkkP(,?2)，将直线AB的方程代入抛物线方程得x2?kx??2?0，由此得222x1?x2?k,y1?y2?k(x1?x2?1)?4?k2?k?4，?APB的重心G的轨迹方程为
y?kk?x?x?k?12?2?2?kx???332，消去k即得 ?kkk?y1?y2??2k2?k?4??2k2??2?y?222???333?1y?(4x2?x?2).
3k122(2)设A(x1,x1),B(x2,x2)，由(1)知x1?x2?k,x1x2??2，又F(0,)，由(1)知
24uuuruuurx1?x2x?xkk112P(,?2)，即P(,x1x2)，所以FA?(x1,x1?)，FP?(12,x1x2?)，222424uuur1FB?(x2,x22?).
4x1?x211111uuuruuurx1?(x1x2?)(x12?)(x1x2?)(x12?)x1x2?FP?FA44?44?uuucos?PFA?uuuruuur?2r4.uuuruuur1212FP?FAFP22FP(x?)FPx1?(x1?)1441uuuruuurx1x2?FP?FB同理cos?PFB?uuuruuur?uuur4.
FP?FBFP所以有?PFA??PFB.
5
极点与极线法解高中圆锥曲线
