专题21 菱形
专题知识回顾
1．菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。
4．菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
专题典型题考法及解析
【例题1】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A．2.5 【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为菱形， ∴CD＝BC=4=5，且O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE为△BCD的中位线， ∴OE=2CB＝2.5
【例题2】（2019广西梧州）如图，在菱形ABCD中，AB?2，?BAD?60?，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是 ．
1
20
B．3 C．4 D．5
1
【答案】3?1
【解析】连接BD交AC于O，如图所示：
Q四边形ABCD是菱形，
?CD?AB?2，?BCD??BAD?60?，?ACD??BAC?12?BAD?30?，OA?OC，AC?BD，?OB?12AB?1， ?OA?3OB?3， ?AC?23，
由旋转的性质得：AE?AB?2，?EAG??BAD?60?， ?CE?AC?AE?23?2，
Q四边形AEFG是菱形，?EF//AG，
??CEP??EAG?60?，
??CEP??ACD?90?，??CPE?90?，
?PE?12CE?3?1，PC?3PE?3?3，
?DP?CD?PC?2?(3?3)?3?1。
专题典型训练题
一、选择题
1.（2019四川泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（
2
）
A．8 【答案】
【解析】如图所示：
B．12 C．16 D．32
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO=2AC，DO＝BO=2BD，AC⊥BD， ∵面积为28，
∴AC?BD＝2OD?AO＝28 ①
21
1
1
∵菱形的边长为6， ∴OD2+OA2＝36 ②，
由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD?AO＝36+28＝64． ∴OD+AO＝8，
∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
2.(2019?四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点E作EF⊥x轴于点F， ∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°， ∴
∵A（4，0）， ∴OA=4， ∴∴
=2， ，EF=
=
=
，
=30°，∠FAE=60°，
3
∴OF=AO-AF=4-1=3， ∴
．
3.（2019?四川省广安市）如图，在边长为3的菱形ABCD中，?B?30?，过点A作AE?BC于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G则CG等于（ ）
AGBECFD
A.3?1 【答案】A
【解析】因为∠B=30°，AB=3，AE⊥BC， 所以BE=
B.1 C.
31 D. 2.233，所以EC=3-， 22则CF=3-3， 又因为CG∥AB， 所以
CGCF, ?ABBF所以CG=3?1.
4.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线 ，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
AFBEHGDC
4
【答案】C
【解析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线性质，得EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，又由AB=CD，得EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形． ∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵AB=CD，∴EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，故选C． 5. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点； ②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE． 则下列说法错误的是（ ）
A．∠ABC＝60° B．S△ABE＝2S△ADE
C．若AB＝4，则BE＝4
D．sin∠CBE＝
【答案】C
【解析】由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE， 在Rt△ADE中，cosD＝＝，
∴∠D＝60°，
∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确； ∵S△ABE＝AB?AE，S△ADE＝DE?AE， 而AB＝2DE，
∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确； 若AB＝4，则DE＝2， ∴AE＝2
，
5
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