全国高中数学联赛预赛试题 （考试时间：9月24日上午8:3011:00）
一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）
1．设多项式f(x)满足：对于任意x?R，都有f(x?1)?f(x?1)?2x?4x,则f(x)的最小值是＿＿＿＿＿＿.
2．数列{an},{bn}满足：akbk?1,k?1,2,数列{bn}的前n项和Bn?＿＿＿＿＿＿.
2,已知数列{an}的前n项和为An?n，则n?11?x23．函数f(x)?的值域是＿＿＿＿＿＿.
x?24．过抛物线y?8x的焦点F,作一条斜率为2的直线l，若l交抛物线于A,B两点，则
2?OAB的面积是＿＿＿＿＿＿.
sinA?cos(A?B)，则tanA的最大值为＿＿＿＿＿＿. sinB6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.
7.将1,2,,9随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每行三 5.若?ABC为锐角三角形，满足
数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p?＿＿＿＿＿＿.
8.将集合M?{1,2, 12}的元素分成不相交的三个子集：
M?A?B?C，其中A?{a1,a2,a3,a4}B?{b1,b2,b3,b4}C?{c1,c2,c3,c4}，c1＜c2＜
c3＜c4，且ak?bk?ck，k?1,2,3,4,则集合C为：＿＿＿＿＿＿.
二．解答题（共2题，合计70分）
9.（20分）如图，AB是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M、N分别是两段弧的中点，以点B为旋转中心，将弓形AMB顺时针旋转一个角度成弓形A1MB，AA1的中点为P，
MN的中点为Q.求证：MN?2PQ.
x2y222210.（25分）给定椭圆C:2?2?1,(a＞b＞0)以及圆O:x?y?b，自椭圆上异
ab于其顶点的任意一点P，做
O的两条切线，切点为M,N，若直线MN在x,y轴上的截
a2b2a2距分别为m,n；证明：2?2?2.
nmb11.（25分）对于2n个素数组成的集合M?{p1,p2,积，得到一个n元集，如果A?{a1a2,a3a4,,p2n}，将其元素两两搭配成n个乘
,
,a2n?1a2n,}与B?{b1b2,b3b4,,a2n}={b1,b2,b2n?1b2n}是由此得到的两个n元集，其中{a1,a2,,b2n}?M，且
A?B??，就称集合对{A,B}是由M炮制成的一副“对联”.(例如当n?2时，由四元集
{a,b,c,d}可炮制成三副“对联”：{ab,cd}{ac,bd}{ad,bc}).
{ac,bd}，{ab,cd}{ad,bc}
(1).当n?3时，求6元素集M?{a,b,c,d,e,f}所能炮制成的“对联”数； （2）对于一般的n?2，求由2n元素集M所能炮制成的“对联”数T(n).
全国高中数学联赛
预赛试题答案
1.2 2.
n(n?1)(n?2)
3??3?? 3?3.?0,4.45 5.
2 46.83 7.
8 9!8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}
9.思路：取AB中点E，A1B中点F，可证PEBF为菱形； 证明角MFP=角PEN； 再证角PNE=角MPF； 然后证角MPN为直角
10.关键步骤：设P点坐标(x0,y0)，易的OMPN四点共圆，此圆方程减圆O方程得直
2线MN方程x0x?y0y?b
11.（1）60; (2)T(n)?1n?1?111C2n?1?Dn?n! (其中Dn=n!?1????2?1!2!3!(?1)n1??)n!?
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