2024年普通高等学校招生天津卷理工类数学试题
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟第一卷1至2页，第二卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 祝各位考生考试顺利！
第一卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B) 如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)?P(A)?P(B) 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式V柱体?Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. i是虚数单位， A. 1?i 2. 不等式
(?1?i)(2?i)=
i3B. ?1?i C. 1?3i
D. ?1?3i
x?1?2的解集为 x
B. [?1,??)
A. [?1,0) C. (??,?1]
D. (??,?1]?(0,??)
????3. 若平面向量b与向量a?(1,?2)的夹角是180?，且b?35，则b＝
A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)
x2y2?1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0,F1、F24. 设P是双曲线2?9a分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|?3，则|PF2|? A. 1或5
B. 6
C. 7
D. 9
5. 若函数f(x)?logax(0?a?1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=
A.
2 4B.
2 2C.
1 4 D.
1 2
6. 如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于
A.
10 5 B.
15 5C.
4 5 D.
2 3C1D1A1B1EDA22COB
F7. 若P(2,?1)为圆(x?1)?y?25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 A. x?y?3?0 C. x?y?1?0
B. 2x?y?3?0 D. 2x?y?5?0
8. 已知数列{an}，那么“对任意的n?N*，点Pn(n,an)都在直线y?2x?1上”是“{an}为等差数列”的
A. 必要而不充分条件 C. 充要条件 9. 函数y?2sin( A. [0,
B. 充分而不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
?6?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是
B. [?3]
?12,7?] 12
C. [?3,5?] 6D. [5?,?] 610. 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1?3分别过BC、A1D1V2?VEBE1A1?FCF1D1，的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1?VAEA1?DFD1，V3?VB1E1B?C1F1C若V1:V2:V3?1:4:1，则截面A1EFD1 的面积为
A. 410
B. 83 C. 413 D. 16
D1A1DEE1FF1B1C1CB
A11. 函数y?3x2?1（?1?x?0）的反函数是
A. y?1?log3x(x?)
13
B. y??1?log3x(x?)
13C. y?1?log3x(?x?1)
13D. y??1?log3x(?x?1)
1312. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?，且当x?[0,?2]时，f(x)?sinx，则f(B.
5?)的值为 3
D.
A. ?
1 21 2
C. ?3 23 2
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第二卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚 题号 得分 二 三 17 18 19 20 21 22 总分 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层
抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件那么此样本的容量n= 14. 如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线y?x?2x?3没有交点，那么实数a的取值范围是 215. 若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x2?...?a2004x2004(x?R)，则
(a0?a1)?(a0?a2)?(a0?a3)?...?(a0?a2004)? （用数字作答）
16. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分）
sin2a?cos2?1 已知tan(??)?，（1）求tan?的值；（2）求的值 1?cos2?42?18. （本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量?表示所选3人中女生的人数 （1）求?的分布列； （2）求?的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数??1”的概率 19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小
PFDECA20. （本小题满分12分）
B
已知函数f(x)?ax?bx?3x在x??1处取得极值 32 （1）讨论f(1)和f(?1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （2）过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线，求此切线方程 21. （本小题满分12分）
已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件： a1?a,an?f(an?1)(n?2,3,4,...),a2?a1，
f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,...)，其中a为常数，k为非零常数 （1）令bn?an?1?an(n?N*)，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）当|k|?1时，求liman n??22. （本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c?0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 （1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；
（3）设AP??AQ（??1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FM???FQ
2024年普通高等学校招生天津卷理工类数学参考解答
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分 1—5 DAACA 6—10 BABCC 11—12 DD
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分 13. 80
14. (??,?13) 415. 2024 16. 300
三. 解答题：
17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分 （1）解：tan(?4tan??)??4?tan?1?tan?4?tan?1?tan?
1?tan? 由tan(?4??)?1 311?tan?1，有? 21?tan?2 解得tan???sin2??cos2?2sin?cos??cos2??（2）解法一：
1?cos2?1?2cos2??12sin??cos?1115?tan???????
2cos?232611解法二：由（1），nat???，得sin???cos?
33112222∴sin??cos? 1?cos??cos?
9992∴cos??
1042于是cos2??2cos??1?，
523sin2??2sin?cos???cos2???
3539??2sin2??cos?5?510?? 代入得
41?cos2?61?5?18. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力满分12分 （1）解：?可能取的值为0，1，2
k3?kC2?C4 P(??k)?,k?0,1,2 3C6所以，?的分布列为
? P 0 1 2 1 53 51 5（2）解：由（1），?的数学期望为
131E??0??1??2??1
555（3）解：由（1），“所选3人中女生人数??1”的概率为
P(??1)?P(??0)?P(??1)?45
19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能
力和推理论证能力，满分12分 方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO ∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点 在?PAC中，EO是中位线，∴PA // EO 而EO?平面EDB且PA?平面EDB， 所以，PA // 平面EDB
PFDOAB
EC（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD?DC
∵PD=DC，可知?PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线， ∴DE?PC ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC ∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC 而DE?平面PDC，∴BC?DE ② 由①和②推得DE?平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE?PB
又EF?PB且DE?EF?E，所以PB⊥平面EFD （3）解：由（2）知，PB?DF，故?EFD是二面角C—PB—D的平面角 由（2）知，DE?EF,PD?DB 设正方形ABCD的边长为a，则PD?DC?a,BD?2a
PB?PD2?BD2?3a， PC?PD2?DC2?2a
DE?12PC?a 22在Rt?PDB中，DF?PD?BDa?2a6??a PB33a2aDE3?2??在Rt?EFD中，sinEFD?，∴?EFD? DF236a3所以，二面角C—PB—D的大小为? 3方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC?a （1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,aa,) 22∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,a2a,0)且 2aaPA?(a,0,?a),EG?(,0,?) 22∴PA?2EG，这表明PA//EG z而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA//平面EDB
PFDGAxBE（2）证明；依题意得B(a,a,0)，PB?(a,a,?a)又a2a2aa??0 DE?(0,,)，故PB?DE?0?2222Cy∴PB?DE 由已知EF?PB，且EF?DE?E，所以PB?平面EFD （3）解：设点F的坐标为(x0,y0,z0)，PF??PB，则
(x0,y0,z0?a)??(a,a,?a)
从而x0??a,y0??a,z0?(1??)a所以
FE?(?x0,aa11?y0,?z0)?(??a,(??)a,(??)a) 2222由条件EF?PB知，FE?PB?0，即
111??a2?(??)a2?(??)a2?0，解得??
223aa2a∴点F的坐标为(,,)，且
333aaaaa2aFE?(?,,?)，FD?(?,?,?)
366333a2a22a2???0 ∴PB?FD??333即PB?FD，故?EFD是二面角C—PB—D的平面角 a2a2a2a2???∵FE?FD?，且 91896a2a2a26a2a24a26|FE|????a，|FD|????a，
9363669993FE?FD|FE||FD|a2666a?a631 2∴cosEFD???∴?EFD??3 所以，二面角C—PB—D的大小为? 320. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力满分12分 （1）解：f?(x)?3ax?2bx?3，依题意，f?(1)?f?(?1)?0，即 ?2?3a?2b?3?0,
?3a?2b?3?0. 解得a?1,b?0 ∴f(x)?x?3x,f?(x)?3x?3?3(x?1)(x?1) 32 令f?(x)?0，得x??1,x?1
若x?(??,?1)?(1,??)，则f?(x)?0，故
f(x)在(??,?1)上是增函数， f(x)在(1,??)上是增函数 若x?(?1,1)，则f?(x)?0，故
f(x)在(?1,1)上是减函数 所以，f(?1)?2是极大值；f(1)??2是极小值 （2）解：曲线方程为y?x?3x，点A(0,16)不在曲线上 33设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0?x0?3x0 22因f?(x0)?3(x0?1)，故切线的方程为y?y0?3(x0?1)(x?x0)
注意到点A（0，16）在切线上，有
3216?(x0?3x0)?3(x0?1)(0?x0) 3化简得x0??8，解得x0??2 所以，切点为M(?2,?2)，切线方程为9x?y?16?0 21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分 （1）证明：由b1?a2?a1?0，可得
b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0 由数学归纳法可证bn?an?1?an?0(n?N*) 由题设条件，当n?2时
bna?anf(an)?f(an?1)k(an?an?1)?n?1???k bn?1an?an?1an?an?1an?an?1因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列 n?1n?1（2）解：由（1）知，bn?kb1?k(a2?a1)(n?n*)
当k?1时，b1?b2?...?bn?11?kn?1?(a2?a1)(n?2)
1?k
当k?1时，b1?b2?...?bn?1?(n?1)(a2?a1) (n?2) 而b1?b2?...?bn?1?(a2?a1)?(a3?a2)?...?(an?an?1)?an?a1 (n?2) 所以，当k?1时
1?kn?1an?a1?(a2?a1) (n?2) 1?k上式对n?1也成立所以，数列{an}的通项公式为
1?kn?1an?a?(f(a)?a)1?k当k?1时
(n?N*)
an?a1?(n?1)(a2?a1) (n?2) 上式对n?1也成立，所以，数列{an}的通项公式为
an?a?(n?1)(f(a)?a) (n?N*)，
（2）解：当|k|?1时
1?kn?1liman?lim[a?(f(a)?a)] n??n??1?k?a?
f(a)?a
1?k
2024普通高等学校招生全国统一考试天津卷理科数学试题及答案
