高等数学中极限思想在中
学数学中的渗透
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本科生毕业论文
题目：高等数学中极限思想在中学数学中的渗透
学生姓名：段锡朋 专业：数理基础科学 指导教师：葛瑜
2016年4月27日
目录
摘要
大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于
中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。
关键字：大学数学，中等数学，极限，几何，数列，函数，不等式。
Abstract
Collegemathematicsisbasedonthelimitwhilethemainpurposeofmathematicsteachinginmiddleschoolistocultivatestudents’,,,,especiallyingeometry,function,sequencecalculation,,，limit，geometry,function,sequencecalculation,trigonometricfunctionandinequation
绪论
极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。
本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
研究意义
极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它
本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。
本课题解决的主要问题
本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。
极限的定义
极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。
函数极限的定义：设y=f(x)是一个函数，A是一个常数，x0是一个点，f(x)在x0的一个去心邻域内有定义。如果当x越来越接近x0时，函数值越来越接近常数A，则称A为趋于x0的函数的极限。记为
lim??(??)=??或f(x)→A(x→??0)
??→??0
数列极限的定义：设{????}是一个数列，如果存在实数a，对于任意正数ε(不论ε多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式│???????|<ε成立，那么称常数a是数列{????}的极限，记作
lim????=??或????→??（n→∞）
??→∞
极限的四则运算
数列极限的四则运算法则：若{????}和{????}为收敛数列，则{????+????}，{?????????}，{????·????}也都是收敛数列，且有
n→∞??→∞
lim(an±bn)=liman±limbn
n→∞
n→∞
??→∞
??→∞
lim（????·????）=lim????·lim????
第二章 极限思想在函数中的应用
极限在抛物线上的应用
例1. 抛物线y=2x2与过焦点F的直线m交于两点P、Q，F分线段PQ为两个
线段，其长分别为p,q则p+q等于（） A,4B,4C,8D,2
图一
解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点F（0，8） 由直线的参数方程可得过点F的直线m的参数方程为
??=??cos??{ ??=1+??sin??
8
（1） (2) （3）
??
??
1
1
1
1
y=2x2
联立方程（1）和（2）并消去x和y得
2cos2????2???sin???8=0
1
韦达定理：一个一元二次方程a??2+bx+c=0的两个根为
??1和??2，则??1+??2=???,??1 ??2=?? 根据韦达定理得方程的两个根??1??2的关系为
sin??
??1+??2=
2cos2????1??2=?16cos2?? +q=p
坐标为F（0,8）
因为直线m是经过点F任意运动的。
所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时
1
1
1
??+qpq
1
=
|??1+??2|1??1??2
=8
（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的
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