练案[87]选修4－4 坐标系与参数方程
第一讲 坐标系
A组基础巩固
2
?x′＝3x，y2
1．求双曲线C：x－64＝1经过φ：?变换后所得曲线C′的焦点坐
?2y′＝y，
标.导学号 58535332
[解析] 设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)， 1??x＝3x′，y2
2
由上述可知，将?代入x－64＝1
??y＝2y′x′24y′2x′2y′2
得9－64＝1，化简得9－16＝1， x2y2
即9－16＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．
2．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的π
最小正角为3，求：导学号 58535333
(1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离． [解析]
ρ1
(1)如图，由正弦定理得＝.
2ππsin3sin?3－θ?π2π3
即ρsin(3－θ)＝sin3＝2，
π3
∴所求直线的极坐标方程为ρsin(3－θ)＝2. (2)作OH⊥l，垂足为H，
ππ
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝2，∠OAH＝3， π33
则OH＝OAsin＝，即极点到该直线的距离等于. 322
3．(2018·邯郸调研)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：导学号 58535334
π2ρsin(θ－4)＝2(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标． [解析] (1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ， 故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0， π2
直线l：ρsin(θ－4)＝2，即ρsinθ－ρcosθ＝1， 则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0. (2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
?x2＋y2－x－y＝0，?x＝0，?将两方程联立得解得?即圆O与直线l在直角坐标系?x－y＋1＝0，?y＝1，
下的公共点为(0,1)，
π
将(0,1)转化为极坐标为(1，2)，即为所求．
4．(2018·山西康杰中学月考试题)在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(1,0)，倾斜π
角为6，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐π
标方程为ρ＝4cos(θ＋3).导学号 58535335
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程； (2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．
[解析]
?
(1)l的参数方程为?π
y＝tsin?6
πx＝1＋tcos6，
3
?x＝1＋t，?2
(t为参数)，即?1
y＝?2t?
(t为参
数)．
π
由ρ＝4cos(θ＋3)，得ρ＝2cosθ－23sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ－23ρsinθ， 从而有x2＋y2－2x＋23y＝0，
∴C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝4.
31
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，得(2t)2＋(2t＋3)2＝4， 此时Δ＝(3)2－4×1×(－1)＝7>0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－3，t1t2＝－1， ∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝?t1＋t2?2－4t1t2 ＝?－3?2－4×?－1?＝7.
5．(2018·河南洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θπ
－)＝2.导学号 58535336 4
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解析] (1)由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x2＋y2＝4. π
因为ρ2－22ρcos(θ－4)＝2，
ππ
所以ρ2－22ρ(cosθcos4＋sinθsin4)＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1， π2
即ρsin(θ＋)＝. 42
[点拨] (1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
6．(2018·安徽“江南十校”联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，xππ
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A(33，2)，B(3，3)，圆C的方程为ρ＝2cosθ.导学号 58535337
(1)求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；
(2)已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．
高考数学一轮总复习配套练习坐标系
