上海大学2000年度研究生入学考试试题
数学分析
1、 设
yn?x1?2x2??nxna，若limxn?a，证明：（1）当a为有限数时，limyn?；
n??n??2n(n?1)n??（2）当a???时，limyn???.
2、设f(x)在?0,1?上有二阶导数（端点分别指左、右导数），f(0)?f(1)?0，且
minf(x)?? 11?0,?证明：maxf??(x)?8
?0,1?p?1, 当x= (q?0,p,q为互质整数)?3、 证明：黎曼函数R(x)??qq在?0,1?上可积.
?0,当x为无理数?4、 证明：lim?t?0tf(x)??1t2?x2dx??f(0),其中f(x)在??1,1?上连续.
1??n1??5、 设an?ln?1???1?p?，讨论级数?an的收敛性.
n??n?26、 设
???0f(x)dx收敛且f(x)在?0,???上单调，证明：limh?f(nh)???h?0n?1????0f(x)dx.
x2y27、 计算曲面x?y?z?a包含在曲面2?2?1(0?b?a)内的那部分的面积.
ab22228、 将函数f(x)?x在?0,2??上展成Fourier级数,并计算级数
sink的值. ?kk?1??上海大学2001年度研究生入学考试试题
数学分析
1、 计算下列极限、导数和积分:
(x); (1) 计算极限lim?x?01x(2) 计算
?(x)??f(t)dt的导数??(x),其中f(x)??0x2?t,(t?1). 2t?1,(t?1)??1arctan(3) 已知??2??11??I?dx. 2tanx??,求积分22?01?sinx?1?sinx?
(4) 计算f(t)?式).
x2?y2?z2?t2????xyz?2dxdydz?t?0?的导数f?(t)(只需写出f?(t)的积分表达
2、 设f(x)在?a,b?上连续，在?a,b?上可导，若f(a)f(b)?0且f(存在???a,b?使得f?(?)?0. 3、 令F?x,y??y?xey?1
(1)、证明:F?x,??0,x???a?b)?0，试证明必2??1?2??11??3??11?,?;F?x,??0,x???,?. ?1212??2??1212?(2)、证明:对任意的x???(3)、计算y?(0)和y??(0). 4、一致连续和一致收敛性
?11??13?,?,方程F?x,y??0在y??,?中存在唯一的解y(x). ?1212??22? (1)、函数f(x)?x2在?0,1?上是一致连续的,对??10?2,试确定??0,使得当
0?x1?x2?1,且x1?x2??时有x13?x23?10?2.
n2x2?1,x??0,1?,n?1,2, (2)、设fn(x)?32?nx但不是一致收敛的.
5、曲线积分、格林公式和原函数. (1)计算第二型曲线积分I?,证明: fn(x)在?0,1?上是内闭一致收敛的,
12?xdy?ydx??L?x2?y2,其中L是逐段光滑的简单闭曲线,原点属于
L围成的内部区域,(L)的定向是逆时针方向.
(2) 设p?x,y?,q?x,y?除原点外是连续的,且有连续的偏导数,若
?p?q?,?x,y???0,0? ?y?x
?x?costpdy?qdx?c?0,其中(L)的参数方程,(0?t?2?) ???L?y?sint?证明：存在连续可微函数F?x,y?,?x,y???0,0?，使得
?Fcy?Fcx?p?x,y??,?qx,y?. ???x2?x2?y2?y2?x2?y2
上海大学2002年度研究生入学考试题
数学分析
1、 求?和?使得当x???时，无穷小量x?1?x?1?2x等价于无穷小量?x?.
2、 求椭圆Ax2?2Bxy?Cy2?1所围成的面积S,其中A?0,AC?B2?0,A,B,C均为常数.
a0?3、 试给出三角级数??(ancosnx?bnsinnx)中系数的计算公式(不必求出具体值),使得
2n?1该级数在?0,1?上一致收敛到x,并说明理论依据。
2x??esinx当x??时4、 证明：f(x)??函数在???， ，???上一致连续
当x??时??x??25、 设f(x)在?0,1?上有连续的导函数f?(x)，f(0)?0，证明：?f(x)dx?01112f?(x)dx. ?026、 证明:当x?1,y?1时,有不等式(x2?y2)2?2?y2?x2.
7、 设f(x)在?a,b?上连续,并且一对一,(即当x1,x2??a,b?,且x1?x2时有f(x1)?f(x2)),
证明: f(x)在?a,b?上严格单调.
上海大学2003年度研究生入学考试题
数学分析
1、 证明与计算：
（1）对于任意的a?0，证明：limna存在，并求之.
n??1n? （2）设xn?a?1?k,???0,n?1,2,...,?,证明: limxn存在并求之.
n??nk?12、 判断下列结论是否正确,正确的请证明,错误的请举出反例. （3）存在级数
???un?1?n,使得当n???时, un不趋于0,但
?un?1?n收敛.
（4）
?0sin2xdx是收敛的.
1 (5) lim3、 计算
(6)
x???1?e?xsinnxdx?0(此题只需指明理论依据)
2??Sxdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322,其中S为曲面: 1?z?x2?y2,?z?0?的上侧.
n (7)将把f(x)?x在???,??上展成Fourier级数,并由此计算
1. ?2k?1k
4、 证明:
(8)设函数f(x,y)?xy,证明:它在?0,0?上连续且有偏导数fx?0,0?,fy?0,0?,但是
f(x,y)在?0,0?不可微.
(9)设函数f(x)在?0,1?上黎曼可积,证明: f2(x)在?0,1?上也是黎曼可积. (10)当x?0时,证明: ln?1?x??1.
(11)设f?(x)在?0,a?上连续,其中a?0,证明: f(0)?(12)设函数F?u,v,w?有连续的偏导数,证明:曲面F?于一点,并求出交点坐标
(13)设闭曲线L: Ax?2Bxy?Cy?1,其中A?0,AC?B2?0,A,B,C均为常数. 记?x1,y1?和?x2,y2?分别表示曲线的最高点和最低点,证明: y1y2?0. (14)如果函数列fn(x),n?1,2,...,在?0,1?上一致收敛,证明:
22a1af(x)dx?f?(x)dx ??00a1x?yzx?,,??0上各点的切平面都交xyz???fn(x)?在?0,1?上一致有界,
即:存在M?0,使得fn(x)?M,对?x??0,1?,?n成立.(此题好象缺少条件) 进一步问,如果函数列在?0,1?上点点收敛,结论是否成立,请证明你的结论. (15) 设函数f(x)在[0,??)上连续,
???0g(x)dx绝对收敛,证明:
lim?nn??0??xf(2)g(x)dx?f(0)?g(x)dx
0n上海大学2004年度研究生入学考试题
数学分析
1、 判断数列?Sn?是否收敛,其中Sn?1??1????,证明你的结论. 2k3k?1?k?1?n2、 在?0,1?区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列?an?,请运用区间套定理或有限覆盖
定理证明该数列?an?必有收敛子列.
3、 设函数在?0,1?上连续, f(0)?f(1),证明方程f(x)?f(x?)在?0,1?上一定有根. 4、 证明:达布定理:设f(x)在?a,b?上可微, x1,x2??a,b?,如果f?(x1)f?(x2)?0,则在
13x1,x2之间存在一点?,使得f?(?)?0.
5、 给出有界函数f(x)在闭区间?a,b?上黎曼可积的定义,并举出一个?a,b?有界但是不可积
的函数的例子,并证明你给的函数不是黎曼可积的.
6、 闭区间?a,b?上的连续函数f(x),如果积分
?baf(x)?(x)dx?0对于所有具有连续一 阶导
数并且?(a)??(b)?0的函数?（x）都成立，证明：f(x)?0.
7、判别广义积分
?1??0sinxdx的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. x 8、证明：
lim?x?0?0xcost? dt?x2?t22n?1（?1） 9、计算：?.
2n?1n?0?? 10、试将函数f(x)?x在[0,?]上展开成余弦级数，并由此计算:
1?111?????? 3252(2k?1)2n?? 11、函数列fn(x)，n?1,2,?，在[0,1]上连续，且对任意的x?[0,1],fn(x)????f(x),，
问f(x)是否也在[0,1]上连续，证明你的结论.
12、设函数f(x,y)?x?y?3xy,请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函
数在该方向的方向导数.
13、求解viviani问题，计算球体x?y?z?a被柱面x?y?ax所截出的那部分体积. 14、曲线积分
22222233xdx?ydy?Lx2?y2是否与路径无关，其中曲线L不过原点，证明你的结论.
x???x??? 15、设函数f(x)可微，若f(x)?2f?(x)????0，证明：limf(x)?0.
上海大学2005年度研究生入学考试题
数学分析
（0，??）1、设函数f(x)在内连续，limf?(x)?0,求limx???x???f(x). x
上海大学数学分析历年考研真题
