21．(本题满分8分)
（1）解：依题意得1－14.9%－34.4%－33.5% …… 3分
= 17.2%. …… 4分
(2) 解1：设全体参赛人数为x人,则34.4%·x=7200. …… 6分 7200
∴ 参加全程马拉松赛的人数=17.2%x=17.2%×=3600(人) . …… 8分
34.4.2%1
解2：∵ = ， …… 6分
34.4%2
11
∴参加全程马拉松赛的人数=×10公里赛程的人数=×7200=3600（人）.…… 8分
22答：参加全程马拉松赛的人数占全体参赛人数的17.2%，参加全程马拉松赛的有3600人.
22．(本题满分10分)解：过A作AM∥BC交CD的延长线于M. …… 1分
由题意：四边形ABCM是矩形 ∵∠MAC=60°，∴∠BAC=30°. …… 2分 AB
在Rt△ABC中，cot∠BAC = . …… 3分
BC∴ AB=BC·cot30° …… 4分
=273. …… 5分 DM
在Rt△AMD中，tan∠MAD= . …… 6分
AM
∵ ∠MAD=30°，∴ DM=AM·tan30° …… 7分
BCA）α）βM D图3 3
=27× = 93. …… 8分
3
∴CD=AB－DM …… 9分
= 273－93 = 183. …… 10分 答：AB的高为273米，CD的高为183米. 23．(本题满分10分)解：（1）y =
24
…… 4分 x
24
(2)根据题意得： (x－1) =16 …… 7分
x
x=3. …… 9分
经检验：x=3是原方程的解.
∴BC的长是3米. …… 10分 24．(本题满分12分)
（1）解：∵∠ABC与∠ADC互补∴∠ABC+∠ADC=180°.…… 1分
∵∠A=90°，∴∠C=360°－90°－180°= 90°. …… 3分 （2）解：过A作AE⊥BC，垂足为E. ……5分 则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分.
把△ABE以A为旋转中心逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形.
过A作AF∥BC交CD的延长于F，∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABC=∠ADF. …… 6分
又AD=AB， ∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF. .. 7分 ∴AE=AF.∴四边形AECF是一个正方形. …… 8分 (3)解1：连结BD，∠C=90°，CD=6，BC=8， ∴BD=10. ……… 9分 又∵S四边形ABCD=49， ∴S△ABD = 49－24 =25. 过A作AM⊥BD，垂足为M，
1
∴ S△ABD = ×BD×AM=25，∴AM=5. ……10分
2又∵∠BAD=90°， ∴△ABM∽△ABD， AMMD ∴ = .
AMBM
510－x
设BM = x，则MD=10－x， = ，解得x = 5. ……11
x5分
∴ AB = 52. ……12分
解2. 连结BD，∠A = 90°. 设AB = x，BD = y，则x+y=10.
2
2
2
A F D B E C 图5 A D
M B 图5
C
① ……9分
1
xy =25， ∴ xy =50. ② ……10分 2
由①②得：(x－y)2 = 0，
∴ x = y. …… 11分 2x =100，∴ x = 52 . …… 12
分
25. (本题满分12分)(1)证明： 在△PBT和△PTA中，∵∠BPT=∠TPA，. …… 1分 P ∵
122PB82PT
= = ， = = ， …… 2分 PA183PT123
2
BPTPB
∴ = . …… 3分 PAPT∴△PBT∽△PTA. ……4分
(2) 解1：连结OT， ∵ OB=OT，∴∠OBT=∠BTO. ……5分 由（1）得∠PTB=∠PAT.∵AB是直径，∴∠BTA = 90.°……6分 ∴∠A+∠ABT = 90°，∴∠OTB+∠BTP = 90°. ……7分 ∴PT是⊙O的切线. …… 8分
1
解法2：连结OT，∵ AB = PA－PB = 18－8 =10 ∴ OB = OT = AB = 5. … 5
2分
在△POT中，PO= (PB+BO)= 13=169， PT +OT=12+5= 169，
∵PO= PT +OT. …… 6分 ∴∠PTO = 90°. ……7分 ∴PT是⊙O的切线. ……8分 （3）解1：∵∠ABT=∠P+∠PTB，∴∠ABT＞∠P. ……9分 过B作BC交⊙O于C，使∠BCT=∠P. ……10分 由（1）得，∠PTB =∠PAT=∠BCT，∴ △PBT∽△BTC. BTTC
∴ = . ……11分
PBBT又PB = 8，
∴ BT= 8TC即存在一点C，使得BT= 8TC. …… 12分 BTPT2222
解2：由(1)得 = = ，又由BT+AT=AB=100，
ATPA3
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
OTA图6（a）P BOTCA图6（b）30132013
得AT= ，BT= . …… 9分
1313
502
当TC= 时. BT = 8TC， …… 10分
13503013∵ < ，即TC ∴ 在AT上存在一点C，使得BT= 8TC. …… 12分 26. (本题满分12分)解:(1) ∵y = ax过点P(m，a), ∴ am= a. ……1分 2 2 ∴ m2 =1 ，m = ±1. ∵点P在第一象限, ∴m =1. (2) ∵直线y=kx+b过点P(1，a), ∴ k+b=a, k=a－b, ∴ 此时直线为y=（a－b）x+b. ① ∠OPA=90°不成立. ∵ 当b=2a时，y= －ax+2a与x轴交点A(2，0), 又P(1，a)，∴当a=2时，OP = 12 +22 = 5. OA=2， ∴ OA＜OP，OA不可能是斜边，∠OPA ≠ 90°. ② 当b=4时，直线为y=（a－4）x+4与x轴交点坐标A(－ 4 a－4，∵ 点A在x轴正半轴， ∴ a－4＜0，即a＜4又点P在第一象限a＞0, ∴0＜a＜4. 分 解??y = (a－4)x+4，?y = ax2 . 得ax2 －ax+4x － 4=0. ∴ x=1,x= － 4 a . 当x=1时，即P (1，a) . 当x= － 4a时，得M（－4a，16 a）. ∴ S141632 △OAM= 2·(－ a-4)· a = － a2－4a . …… 2分 …… 3分 …… 5分 …… 6分 …… 7…… 8分 …… 9分…… 10分 0) . 1a－4a121 = － = － (a－2)+. …… 11S32328分 1 ∵ － ＜0，0＜a＜4， 32 11 ∴ 当a=2时，最大值是. …… 12分 S8 2
2006-2013年厦门市数学历年中考试卷(含答案)
