∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180° ∴∠DOG=60°=∠AOD ∴OD平分∠AOG (2)设∠AOD=β
∵射线OD是∠AOG的三等分线
∴∠AOD=2∠DOG,或∠DOG=2∠AOD 若∠AOD=2∠DOG ∴∠DOG=β
∵∠BOC=∠AOD,OF平分∠BOC ∴∠BOF=β ∵OF⊥OG ∴∠BOG=90﹣α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180° ∴β+90﹣β+β=180° ∴∠β=90° ∴∠BOF=45° ∵OF∥AE
∴∠A=∠BOF=45° 即α=45°
若∠DOG=2∠AOD=2β
∵∠BOC=∠AOD,OF平分∠BOC ∴∠BOF=β ∵OF⊥OG ∴∠BOG=90﹣α
∵∠BOG+∠DOG+∠AOD=180° ∴2β+90﹣β+β=180° ∴∠β=36°
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∴∠BOF=18° ∴OF∥AE
∴∠A=∠BOF=18° ∴α=18°
综上所述α为18°或45°
9.解:(1)如图1,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB, ∴EM∥AB∥FN,
∴∠B=∠BEM=20°,∠MEF=∠EFN, 又∵AB∥CD,AB∥FN, ∴CD∥FN,
∴∠D+∠DFN=180°, 又∵∠D=110°, ∴∠DFN=70°,
∴∠BEF=∠MEF+20°,∠EFD=∠EFN+70°, ∴∠EFD=∠MEF+70° ∴∠EFD=∠BEF+50°=100°; 故答案为:100°;
(2)如图1,分别过点E,F作EM∥AB,FN∥AB, ∴EM∥AB∥FN,
∴∠B=∠BEM=20°,∠MEF=∠EFN, 又∵AB∥CD,AB∥FN, ∴CD∥FN,
∴∠D+∠DFN=180°, 又∵∠D=110°, ∴∠DFN=70°,
∴∠BEF=∠MEF+20°,∠EFD=∠EFN+70°, ∴∠EFD=∠MEF+70°, ∴∠EFD=∠BEF+50°;
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(3)如图2,过点F作FH∥EP, 由(2)知,∠EFD=∠BEF+50°, 设∠BEF=2x°,则∠EFD=(2x+50)°, ∵EP平分∠BEF,GF平分∠EFD,
∴∠PEF=∠BEF=x°,∠EFG=∠EFD=(x+25)°, ∵FH∥EP,
∴∠PEF=∠EFH=x°,∠P=∠HFG, ∵∠HFG=∠EFG﹣∠EFH=25°, ∴∠P=25°.
10.解:(1)如图1,∵AB∥CD, ∴∠1=∠EGD, 又∵∠2=2∠1, ∴∠2=2∠EGD, 又∵∠FGE=60°,
∴∠EGD=(180°﹣60°)=40°, ∴∠1=40°;
(2)如图2,∵AB∥CD, ∴∠AEG+∠CGE=180°,
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°, 又∵∠FEG+∠EGF=90°, ∴∠AEF+∠GFC=90°;
(3)如图3,∵AB∥CD,
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∴∠AEF+∠CFE=180°,
即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°, 又∵∠GFE=90°,∠GEF=30°,∠AEG=α, ∴∠GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α. 故答案为:60°﹣α.
11.解:(1)如图1,∵AB∥CD,
∴∠END=∠EFB, ∵∠EFB是△MEF的外角,
∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME, 故答案为:∠E=∠END﹣∠BME;
(2)如图2,∵AB∥CD, ∴∠CNP=∠NGB,
∵∠NPM是△GPM的外角,
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA, ∵MQ平分∠BME,PN平分∠CNE,
∴∠CNE=2∠CNP,∠FME=2∠BMQ=2∠PMA,∵AB∥CD,
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP,
∵△EFM中,∠E+∠FME+∠MFE=180°,
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∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°, 即∠E+2(∠PMA+∠CNP)=180°, ∴∠E+2∠NPM=180°;
(3)如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于H, ∵AB∥CD, ∴∠CDG=∠AGE, ∵∠ABE是△BEG的外角,
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE,①
∵∠ABM=∠MBE,∠CDN=∠NDE, ∴∠ABM=
∠ABE=∠CHB,∠CDN=
∠CDE=∠FDH,
∵∠CHB是△DFH的外角, ∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=
(∠ABE﹣∠CDE),②由①代入②,可得∠F=∠E,
即. 故答案为:
.
12.解:(1)如图,延长DE交AB于H, ∵AB∥CD,
∴∠D=∠AHE=40°, ∵∠AED是△AEH的外角,
∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°, 故答案为:70;
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