第1讲 空间几何体
[考情考向分析] 1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．
热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤
一般先依据俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．
例1 (1)(2024·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
答案 A
解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
答案 2＋2
2
解析 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，
1
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝而四边形AECD为矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝由此可还原原图形如图所示．
2
＋1. 2
2. 2
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，
B′C′＝
2
＋1， 2
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
1
∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′
21?22?
＝×?1＋1＋?×2＝2＋. 2?22?
思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．
跟踪演练1 (1)(2024·浙江省台州中学模拟)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )
2
答案 D
解析 由正视图和俯视图得该几何体可以为一个底面为等腰三角形的三棱锥和一个与三棱锥等高，且底面直径等于三棱锥的底面等腰三角形的底的半圆锥的组合体，则其侧视图可以为D选项中的图形，故选D.
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，
G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )
答案 C
解析 取AA1的中点H，连接GH，则GH为过点E，F，G的平面与正方体的面A1B1BA的交线． 延长GH，交BA的延长线与点P，连接EP，交AD于点N，则NE为过点E，F，G的平面与正方体的面ABCD的交线．
同理，延长EF，交D1C1的延长线于点Q，连接GQ，交B1C1于点M，则FM为过点E，F，G的平面与正方体的面BCC1B1的交线．
所以过点E，F，G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.
故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项C所示． 热点二 几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几
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个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．
例2 (1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．8＋42＋85 C．8＋202 答案 A
解析 由三视图可知，该几何体的下底面是长为4，宽为2的矩形，左右两个侧面是底边为2，高为22的三角形，前后两个侧面是底边为4，高为5的平行四边形，所以该几何体的表面积1
为S＝4×2＋2××2×22＋2×4×5＝8＋42＋85.
2
(2)(2024·杭州质检)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
B．24＋42 D．28
答案
14
π 6＋(6＋13)π 3
1
解析 由三视图知，该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成，则该组合体的体积为V＝
44111432
×π×2＋×π×2×3＝π， 3233
111112222
表面积为S＝×4π×2＋×π×2＋×4×3＋××2π×2×3＋2＝6＋(6＋13)π.
42222思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
4
跟踪演练2 (1)(2024·宁波期末)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8 答案 B
解析 由三视图得该几何体为一个半球和一个半圆柱的组合体，且半圆柱的底面和半球体的一112222
半底面重合，则其表面积为×4πr＋πr＋2r×2r＋×2πr×2r＝4r＋5πr＝16＋20π，
22解得r＝2，故选B.
(2)(2024·绍兴质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( )
3
A．2 B．3 C．4 D．6 答案 A
解析 将俯视图的对角线的交点向上拉起，结合正视图与侧视图知，此空间几何体是底面为正112
方形(边长2)，高为3的正四棱锥，则其体积V＝Sh＝×(2)×3＝2，故选A.
33热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，
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(浙江专用)2024-2024高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间几何体学案
