专题28 纵观全局——整体思想
阅读与思考
解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有： 1. 整体观察 2. 整体设元 3. 整体代入 4. 整体求和 5. 整体求积
注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．
例题与求解
【例1】某市抽样调查了1000户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是38000元。由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这1000户的平均年收入比实际平均年收入高出了342元，则输入计算机的那个错误数据是 ．
（北京市竞赛题）
解题思路：有1000个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．
注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．
【例2】设a、b、c是不全相等的任意数，若x?a?bc,y?b?ac,z?c?ab，则x、y、z（ ）
（全国初中数学联赛试题）
A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零
解题思路：由于a、b、c的任意性，若孤立地考虑x、y、z，则很难把握的x、y、z正负性，应该考虑整体求出x?y?z的值．
2222a5?3a4?3a3?9a2?5a?1【例3】如果a满足等式2a?3a?1?0，试求的值．
3a?12(天津市竞赛题)
解题思路：不能直接求出a的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．
注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．
【例4】已知x?2,y??4，代数式ax?311by?5?1997，求当x??4,y??时，代数式223ax?24by3?4986的值．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
解题思路：a、b的值无法求出，将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代入求值．
【例5】已知实数a、b、c、d、e、f满足方程组．
?2a?b?c?d?e?f??a?2b?c?d?e?f??a?b?2c?d?e?f??a?b?c?2d?e?f?a?b?c?d?2e?f???a?b?c?d?e?2f?20①?40②?80③?160④?320⑤?640⑥
求f?e?d?c?b?a的值．
（上海市竞赛题）
解题思路：将上述六个式子看成整体，通过⑥－⑤，④－③，②－①分别得到f?e,d?c,b?a．
【例6】如图，将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆圈内的数的和均不大于某一个整数M，求M得最小值并完成你的填图．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）＼
解题思路：解答此题的关键是根据题意得出S(a1?a2?L?a10)≤10M，这是本题的突破口． 注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式子结构的特点，化繁为简的目的．
能力训练
1．已知密码：3·ABCPQR=4·PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子是
2．若a，b，c的值满足(3a?2b?c?4)?(a?2b?3c?6)≤0，则9a?2b?7c? (“城市杯”竞赛试题)
3．角?，?，?中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算
221的值时，全班得到（??????）1523.5°，24.5°，25.5°这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的答案是
4．如果x?2x?3，那么x?7x?8x?13x?15= （“希望杯”邀请赛试题）
5．已知a1,a2,L,a1991都是正数，设M?(a1?a2?L?a1990)?(a2?a3?L?a1991)，
2432N?(a1?a2?L?a1991)?(a2?a3?L?a1990)，那么M与N的大小关系是
M N．
（北京市“迎春杯”竞赛试题）
?ax2?bx?1?0?26．若方程组?bx?x?a?0有解，则a?b?
?x2?ax?b?0?（湖北省武汉市选拔赛试题）
?11?6z?x?y?2z?5?37．若正数x，y，z满足不等式?x?y?z?x，则x，y，z的大小关系是（ ）
3?211?5y?x?z?y?24?A．x?y?z B．y?z?x C．z?x?y D．不能确定
54328．若?3x?1??ax?bx?cx?dx?ex?f，则a?b?c?d?e?f的值是（ ）
2A．?32 B．32 C．1024 D．?1024
9．在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47,61,60，那么这三人中最大年
龄与最小年龄的差是（ ）
A．28 B．27 C．?2 D．2 10．设a，b，c，满足等式x?a?2b?个值（ ）
A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0
（全国初中数学联赛试题）
11．（1）a?b?c?0,化简a(?)?b(?2πππ,y?b2?2c?,z?c2?2a?，则x，y，z 中至少有一3621b1c1c111)?c(?)?3. aab(2)已知
ab1bc1ca1abc ?,?,?，则的值为多少？a?b15b?c17c?a16ab?bc?ca12．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零，然
后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原的四位数，又知道原数的个位数字为5，试求这个四位数．
（江苏省竞赛试题）
13．代数式rvz?rwy?suz?swx?tuy?tvx中，r，s，t，u，v，x，y，z可以分别取+1或-1． （1）证明代数式的值都是偶数． （2）求这个代数式所能取到的最大值．
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
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