等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B. 若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C. 若Δt＝T/2，则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度大小一定相等 D. 若Δt＝T/2，则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
分析：如图6－4所示为物体做简谐运动的图象。由图象可知，在t1、t2两个时刻，振子在平衡位置同侧的同一位置，即位移大小相等，方向相同，而?t?t2?t1?T， 所以选项A错误。
在t1时刻振子向远离平衡位置方向振动，即具有正向速度，在 t2时刻振子向平衡位置方向振动，即具有负向速度，但它们速度大 小相等。而?t?t2?t1?T。所以选项B错误。 2因为?t?t4?t1?T，振子在这两个时刻的振动情况完全相同，所以具有相同的加速度，选项C正确。
因为?t?t3?t1?T，振子在这两个时刻位于平衡位置的两侧，即若t1时刻弹簧2处于伸长状态，则t3时刻弹簧处于压缩状态。所以选项D错误。 解答：选项C正确。
说明：做简谐运动的物体具有周期性，即物体振动周期的整数倍后，物体的运动状态与初状态完全相同。做简谐运动的物体具有对称性，即描述振动的物理量的大小（除周期和频率外）在关于平衡位置对称的两点上都相等，但矢量的方向不一定相同。做简谐运动的物体具有往复性，即当物体振动回到同一点时，描述振动的物理量的大小（除周期和频率外）相同，但矢量的方向不一定相同。
【例7】在某介质中，质点O在t＝0时刻由平衡位置开始向上振动。经第一次向上振动到最大位移处。同时，产生的横波水平向右传播了50cm。在O点右侧有一点P，与O点相距8m。求：（1）这列横波的波速；（2）波动传播到P点，P点刚开始振动时的速度方向；（3）从O点开始振动到P点第一次到达波峰位置所需时间
分析：由题目所给条件可知：振源在内振动了1／4周期，波对应向右传播1／4个波长，从而可以确定波长和周期，进而求出波速。因为波匀速向前传播，所以波从O点传播到P点所用时间＝OP距离／波速。当波传播到P点时，O点的振动形式也传播到了P点，因而P点的起振方向与O点起振方向相同，即为竖直向上，P点由平衡位置第一次到达波峰还在需要T时间。
解答：（1）由题意知：周期T=×4=(s) 波长λ=×4=2(m)
? ∴波速v??5(m/s)
T14 （2）P点刚开始振动时的速度方向为竖直向上。 （3）设所求时间为t，则
t?OP1?T?1.7（s） v4说明：题目本身并不难，但要求对机械波的形成和传播能有一个正确的理解，在多数有关机械波的高考题目中也是这样体现的。随着波的传播，振动形式和能量在传播，所以波动涉及到的每一个质点都要把振源的振动形式向外传播，即进行完全重复的振动，其刚开始的振动方向一定与振源的起振方向相同。
【例8】如图6-10所示，甲为某一简谐横波在t=时刻的图象，乙为参与波动
的某一质点的振动图象。
y/m （1）两图中的AA’、OC各表示什么y/m P 物理量量值各是多少 P ’ A B （2）说明两图中OA ’B段图线的意A B C 0 0 1 t/s 1 2 3 4 x/m 义
（3）该波的波速为多大 A乙 甲 A（4）画出再经过0 .25s后的波动图’ ’
图6-10
象和振动图象。
（5）甲图中P点此刻的振动方向。
分析：依据波动图象和振动图象的物理意义来分析判断。注意振动图象和波动图象的区别与联系。
解答：（1）甲图中的AA’表示振幅A和x=1m处的质点在t=时对平衡位置的位移，振幅A=,位移y=；甲图中OC表示波长，大小=4m。乙图中AA’即是质点振动的振幅，又是t=时质点偏离平衡位置的位移，振幅A=,位移y=;OC表示质点振动的周期，大小T=。
（2）甲图中的OA’B段图线表示O到B之间的各质点在t=时相对平衡位置的位移，OA间各质点正向着平衡位置运动，AB间各质点正在远离平衡位置运动。乙图中的OA’B段图线表示该质点在y/m y/m t=0~时间内振动位移随时间变化的 情况，在0~内该质点正远离平衡位
0 0 1 t/s 1 3 4 2 x/m 置运动，在~内该质点正向平衡位置
运动。 丁 丙 （3）由v=/t可得波速 图6-10 4v=m/s= 4m/s
1（4）再过，波动图象向右平移x=vt=4m=1m=/4;振动图象在原有的基础上向后延伸T/4，图象分别如图6-11丙、丁所示
（5）已知波的传播方向（或某质点的振动方向）判定图象上该时刻各质点的振动方向（或波的传播方向），常用方法如下：
a．带动法：根据波动过程的特点，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的特性，在被判定振动方向的点P附近图象上靠近波源一方找一点P’，若在P点的上方，则P’带动P向上运动，如图所示；若P’在P点的下方，则P’带动P向下运动。
b．微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动x
c．口诀法：沿波的传播方向看，“上山低头，下山抬头”，其中“低头”表示质点向下运动，“抬头” 表示质点向上运动。 故P向上振动。
说明：波动图象和振动图象的形状相似，都是正弦或余弦曲线，其物理意义有本质的区别，但它们之间又有联系，因为参与波动的质点都在各自的平衡位置附近振动，质点振动的周期也等于波动的周期。
【例9】如图6－11所示，一列在x轴上传播的横波t0时刻的图线用实线表示，经Δt＝时，其图线用虚线表示。已知此波的波长为2m，则以下说法正确的是：（ ）
A. 若波向右传播，则最大
周期为2s
B. 若波向左传播，则最大
x 周期为2s
C. 若波向左传播，则最小
波速是9m/s 图6－11
D. 若波速是19m/s，则波的传播方向向左
分析:首先题目中没有给出波的传播方向，因而应分为两种情况讨论。例如波向右传播，图中实线所示横波经过传播的距离可以为, +λ)m, +2λ)m……,其波形图均为图中虚线所示。因而不论求周期最小值还是求周期的最大值，都可以先写出通式再讨论求解。
解答：如果波向右传播，传播的距离为（+nλ）m（n＝1,2,3……），则传播
s0.2?2n?速度为v??m/s，取n=0时对应最小的波速为1m/s，根据周期T?，
?t0.2v得最大的周期为2s。因此选项A是正确的；
如果波向左传播，传播的距离为（nλ－） m（n=1,2,3……），则传播速度为
s2n－0.2?m/s ，取n=1时对应最小的波速为9m/s，根据周期T?，得最大v??0.2v2的周期为s。因此选项C是正确的，B是错误的；在向左传播的波速表达式中，
9?t当取n=2时，计算得波速为19 m/s，因此选项D是正确的。
说明：1. 在已知两个时刻波形图研究波的传播问题时，因为波的传播方向有两种可能,一般存在两组合理的解。又由于波的传播在时间和空间上的周期性，每组解又有多种可能性。为此，这类问题的解题思路一般为：先根据波的图象写出波的传播距离的通式，再根据波速公式列出波速或时间的通式，最后由题目给出的限制条件，选择出符合条件的解。
2. 本题还可以直接考虑：例如对选项A：因为波长一定，若周期最大，则波速必最小，波在相同时间内（）传播距离必最短，即为。由此可知最小波速为1m/s，从而依据波速公式可求出最大周期为2s。其它各选项同理考虑。这样做的主要依据是波是匀速向前传播的，紧抓波速、传播距离、传播时间三者的关系，其实波速公式也是这三者关系的一个体现。
【例10】绳中有列正弦横波，沿x轴传播，图中6—12中a、b是绳上两点，它们在x轴方向上的距离小 于一个波长。a、b两点的振y y a b 动图象如图6－13所示。试
t/s 在图6－12上a、b之间画出x 0 0 a 2 4 6 b t=时的波形图。
分析：首先我们先由振图6-13 图6-12
动图象确定t=时a、b 两质点在波形图上的位置以及振动方向，然后在一列已经画好的常规波形图上按题意截取所需波形既可。因为题中没给波的传播方向，所以要分两种情况讨论。
解答：由振动图象可知：t=时，质点a处于正向最大位移处（波峰处），质点b处于平衡位置且向下振动。先画出一列沿x轴正方向传播的波形图，如图6－14所示。在图左侧波峰处标出a点。b点在a的右测，到a点距离小于1个波长的平衡位置，即可能是b1、b2两种情况。而振动方向向下的点只有b2。题中所求沿x轴正方向传播的波在a、b之间的波形图即为图6－14中ab2段所示。画到原题图上时波形如图6－15甲（实线）所示。
y a b1 v b2 0 a v甲 乙 v乙 b 甲 t/s 图6-14 图6-15 同理可以画出波沿x轴负方向传播在a、b之间的波形图，如图6－15乙（虚线）所示。
说明：1. 分析解决本题的关键是要搞清楚振动图象和波动图象的区别和联系。振动图象详细描述了质点位移随时间的变化，但要找该质点在波中的位置，就必须关心所画波形图对应哪个时刻，进而由振动图象找到在这个时刻该质点的位置及振动方向。
如果已知质点的振动方向、机械波的传播方向和机械波的波形中的任意两个，就可以对第三个进行判断，这也是贯穿整个机械波这部分内容的基本思路和方法。值得注意的是：如果已知质点的振动方向、波的传播方向，再判断机械波的波形时，由于机械波传播的周期性，可能造成波形的多解。例如本题中没有“a、b在x轴方向上的距离小于一个波长”这个条件，就会造成多解现象。
本题还可以利用“同侧法”来 y y vv画图。“同侧法” 是来判断质点的振动方向、机械波的传播x x 0 0 方向和机械波的波形三者关系
M M v波 的方法。其结论是：质点的振v波 动方向、机械波的传播方向必图6-16（甲） 图6-16（乙） 在质点所在波形图线的同一
侧。例如图6－16(甲) 所示是一列沿x轴正方向传播的简谐波图象，若其上M点的振动方向向下，则该点的振动方向与波的传播方向在M点所在图 y a 线的同侧；如图6—16（乙）图所示，若其上M点的振动方向向上， x 则该点的振动方向与波的传播方向在M点所在图线的两侧。依据 b 0 v“同侧法”的判定，质点M的振动方向向下 。 v对于本题中沿x轴正方向传播的情况，因为质点b振动方向 图6-17 向下，波沿x轴正方向传播，为保证波传播方向、质点振动方向 在该点图线的“同侧”，波形图只能是图6－17中实线所示。图线 若为虚线所示，则波传播方向、质点振动方向在该点图线的“两侧”。同理对沿x轴负方向传播的情况。有时我们还可以用图像平移法画图。
【例19】从一条弦线的两端，各发生一如图6—24所示的脉冲横波，它们均沿弦线传播，速度相等，传播方向相反。已知这两个脉冲的宽度均为L，当左边脉冲的前端到达弦中的a点时，右边脉冲的前端正好到达与a相距L/2的b点。请画出此时弦线上的脉冲波形。 分析：依据波的叠加原理：当左边的脉冲波前端向 a 右传播到a点，而右边的脉冲前端向左传到b点，此时， b 两列脉冲波有半个波长是重叠的。在重叠的区域内，即 在a、b之间，当左脉冲引起质点振动的位移方向向下时， 而右脉冲引起质点振动的位移方向向上，或反之，但位 a 移大小相等，叠加结果相互抵消，此时弦线上出现的波 b 形如图6—25所示。
图6－25 说明：此题是依据波的叠加原理而求解的。“叠加”的
核心是位移的叠加，即在叠加区域内每一质点的振动位置由 合位移决定。质点振动速度由合速度决定。
【例20】如图6－26所示，S1、S2是振动情况完全相同的两个机械波波源，振幅为A，a、b、c三点分别位于S1、S2连线的中垂线S上，且ab＝bc。某时刻a是两列波的波峰相遇点，c是两列波的波谷相遇点，则 （ ）
abcA、 a处质点的位移始终为2A B、 c处质点的位移始终为－2A
图6-26 SC、 b处质点的振幅为2A D、 c处质点的振幅为2A
分析：因为两个波源的频率相同，振动情况也相同，而a、b、c三点分别到两个波源的距离之差均为0，依判断条件可知该三个点的振动都是加强的，即各点
波 波 波 振 1
2
机械振动和机械波知识点总结
