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§15.4
[学习目标]
1. 能表述锁具装箱问题的分析过程； 2. 能表述模型的建立方法； 3. 会利用排列组合来计算古典概型； 4. 会利用Mathematica求解锁具装箱问题。
一、 问题
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。
从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。
团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题：
1． 每批锁具有多少个，能装多少箱？
2． 按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。
二、 问题分析与建立模型
因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。
下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5）
其中hi表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件：
条件1： hi∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。
锁具装箱问题
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条件2：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，至少有3种不同的槽高。 条件3：对于任意一种槽高排列h1，h2，h3，h4，h5，有| hi，hi-1|≠5，i = 2，3，4，5。 而两个锁可以互开的条件为：两个锁的钥匙有四个槽高相同，其中一个槽高相差为1。
1．一批锁具个数的计算 记一批锁具的集合为：
K={（h1，h2，h3，h4，h5）| hi∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5，且（h1，h2，h3，h4，h5）为一锁具}，其个数小于65，可采用逐个检验条件1，2，3的方法，求一批中的所有锁具，当然也可计算出其个数。
2．抱怨程度的刻划
在这里我们简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度，所以，关键是计算出顾客购买一箱或两箱时的平均互开总对数，这可以用计算机模拟去计算。 我们引入下面的记号：
P={（h1，h2，h3，h4，h5）|（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且?hi为偶数}
i?155 Q={（h1，h2，h3，h4，h5）|（h1，h2，h3，h4，h5）∈K，且?hi为奇数}
i?1 则可得到P中的锁具不能互开，Q中的锁具不能互开，P中的锁具与Q中的才能互开。 在计算中，判断互开时，我们将P和Q中的锁具分别标号为0，1，这样就减少了判断时的计算，大大提高了计算速度。
说明：直接用平均互开总对数来刻划抱怨程度有一定的不合理性。因为这样来刻划，购买的箱数越多，抱怨程度就越大，而实际上，购买的越多，自然互开的可能性就越大，这是顾客意料之中的，不应有太多的抱怨，顾客所不能容忍的是在购买少量的锁具而出现互开现象。因此应把购买箱数作为一个因素考虑到抱怨函数中。理想的抱怨函数应该是，开始随购买量的增加而增加，到一定量后下降，这才合理。在这里，我们的主要任务是模拟求解，而简单地用平均互开总对数来刻划抱怨程度。
三、 计算过程
计算流程如下：
1． 对（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐个检验条件2、条件3，判断其是否为锁具，将锁具放在数组key中，若?hi为奇数，标号为1，若?hi为偶数，标号为0，并计数count。
i?1i?1552．输出一批锁具的总个数count。
3．多次用随机数来模拟销售一箱的情况，计算平均互开总对数。 4．输出一箱平均互开总对数average。
注意：以上流程略去了某些细节，具体的细节可参看下面的程序。对上流程稍加修改，
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可用于研究2，3，4箱等的平均互开总对数。程序对（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列逐个检验条件2、条件3时要进行两次判断，一次是判断（h1，h2，h3，h4，h5）是否有3个不同的数，另一次是相邻槽高之差是否为5。在前一次判断时，采用了比较简捷的方法，请仔细考察。
找（h1，h2，h3，h4，h5）的所有排列，实际上可用五重循环来实现。具体程序如下：
Model[{h1，h2，h3，h4，h5，flag，cnt，key，flal，su，te，keel，i，aid，
mnx，kebe，k，j，n}， （*计算一批锁具的个数*） key=Table[Table[0，{5}]，{5880}]；
keel=Table[0，{5}]；flag=Table[-1，{5880}]；cnt=0； For[h1=1，h1<=6，h1++， For[h2=1，h2<=6，h2++， For[h3=1，h3<=6，h3++， For[h4=1，h4<=6，h4++，
For[h5=1，h5<=6，h5++，te=Table[0，{6}]；te[[h1]]=1；te[[h2]]=1； Te=[[h3]]=1；te[[h4]]=1；te[[h5]]=1；su=te.Table[1，{6}]； If[su>=3，keel[[1]]=h1；keel[[2]]=h2；keel[[3]]=h3； For[flal=1；i=2，i<=5，i++，
If[Abs[keel[[i]]-keel[[i-1]]]>=5，flal=0，]]； If[flal= =1，cnt++；key[[cnt]]=keel；
flag[[cnt]]=If[Mod[keel.Table[1，{5}]，2]= =0，0，1]； ，]，]] ] ] ] ]；
Print[“count=”，cnt]； （*计算顾客购买一箱时的平均互开总对数*） cnt=0；aid=Table[1，{5}]；kebe=Table[0，{5}]；
For[n=1，n<=1000，n++， （*模拟1000次*）
Mnx=Table[Rndom[Integer，{1，5880}]，{60}]； For[i=1，i<=60，i++， For[k=i+11，k<=60，k++，
If[flag[[mnx[[i]]]! =flag[[mnx[[k]] ]]，
If[Abs[key[[mnx[[i]]]].aid-key[[mnx[[k]]]].aid]= =1， Keel=key[[mnx[[I]]]]；kebe=key[[mnx[[k]]]]；
For[flal=0；j=1，j<=5，j++，If[keel[[j]]!=kebe[[j]]，flal++，]]； If[flal= =1，cnt++，]，]，]；]]]； Print[“Average=”，N[cnt/1000]]；]
运算结果：count=5880与Average=2.362，即得到一批锁具的个数为：5880，购买一箱的
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平均互开总对数大约为：2.362。对程序稍加修改可得到买两箱时的平均互开总对数大约为：8.91，即得到如下结果：count=5880与Average=8.91。
习题15.4
1．请为销售部门提出一种方案，包括如何装箱（仍旧是60个锁具装一箱），如何给箱子以
标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再抱怨或减少抱怨？
2．有4位教师给5个班级授课，按教学要求教师Xi给班级Yi上课的课时数如下表所示。
Y2 Y3 Y4 Y5 班级 Y 1 教师 X1 2 0 0 1 1 X2 0 1 0 1 0 X3 1 1 0 0 1 X4 0 0 0 1 1 试排出课程表。
3．某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式，从一个长方体中加工出一
个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过六次截断切割。已知待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。切割费用为每平方厘米1元，试求最佳切割方案。
复习题十五
1． 席位分配问题
在n个单位的团体中，经常涉及到代表名额分配问题，每个单位都希望自己的代表名额多一些，以便在委员会中能更好地反映自己单位的意图。试设计一种公平的代表名额分配方案，并针对下面三种情况就方案的公平与合理性进行说明。
（1） 该团体有A、B、C三个单位，开始时A、B、C三个单位的人数分别是100、60、40，一年后三单位的人数是103、63、34。就20名代表和21名代表名额给出分配方案。
（2） 该团体有A、B、C、D、E五个单位，其人数分别为9061、7179、5259、3319、1182，给出26、27、28、29个代表名额的分配方案。
（3） 该团体有A、B、C、D、E、F六个单位，其人数分别为9215、159、158、157、156、155，给出100名代表名额的分配方案。
2． 实验数据分解
组成生命蛋白质的若干种氨基酸可以形成不同的组合，通过质谱实验测定分子量来分析某个生命蛋白质分子的组成时，遇到的首要问题就是如何将它的分子量x分解为几个氨基酸的已知分子量a[i]（i=1，2，…，n）之和，某实验室所研究的问题中：
n=18，a[1：18]=57，71，87，97，99，101，103，113，114，115，128，129，131，147，
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156，163，186。
x为正整数小于等于1000。
要求针对该实验室拥有或不拥有计算机的情况，对上述问题提出相应解答，并就所讨论的数学模型与方法在一般情形下进行讨论。
3． 加工顺序
现有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必须安排在另一些工件加工完工以后才能开始，第j号工件的加工时间tj及先期必须完工的工件号i由下表给出。
工件号j tj 前期工件号i 1 20 3,4 2 28 5,7,8 3 25 5,9 4 16 - 5 42 10,11 6 12 3,8,9 7 32 4 8 10 3,5,7 9 24 4 10 20 - 11 40 4,7 12 24 6,7,14 13 36 5,12 14 16 1,2,6 （1） 若给出一个加工工序，则确定了每个工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段）。试设计一个满足条件的加工顺序，使各工件的完工时间之和最小。
（2） 若第j号工件紧接着第i号工件完工后开工，机床需要花费的准备时间是：
?i?ji?j tij??
?2(i?j)i?j（3） 假定工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段）超过一确定时限u时，则需支付一定的补偿费用，其数值等于超过时间与费用率之积，各工件的补偿费用率ωi如下：
j 1 ωi 12 2 10 3 15 4 16 5 10 6 11 7 10 8 8 9 5 10 4 11 10 12 10 13 8 14 12 u=100，tij=0，安排一个加工顺序，使总补偿最小。 4． 追捕与逃跑的策略问题
一种肉食（捕食其它动物的）恐龙，成年恐龙平均长3米，髋高0.5米，重约45公斤。据估计，这种恐龙跑的非常快，速度可达60公里/小时，持续15秒。在以这种速度进行冲刺后，它要停下来在其肌肉中增加乳酸以恢复体力。
假设恐龙捕食一种称为太西龙属的双足食草动物，大小与所述恐龙差不多，可以50公里/小时的速度长时间奔跑。
（1） 设恐龙是一只独居的猎食者，试设计一个单个恐龙潜近猎物并追捕单只太西龙属的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的数学模型。假设当恐龙潜近15米内时，太西龙属总能察觉到，根据栖息地及气候的条件不同，甚至在（多达50米）更大范围内觉察欲捕食者的存在。此外，由于恐龙的身体结构及体能，它在全速奔跑时的转弯半径是有限的，据估计，转弯半径大约是其髋高的三倍。另一方面，太西龙属却是极其灵活的，其转弯半径只有0.5米。
（2） 更现实地假设恐龙是成对外出追猎，试设计一个新的关于成对恐龙潜近猎物并追猎单只太西龙属的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的数学模型。利用（1）中给的假设和限制。
5． 评卷问题
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最新第二十章建立数学建模案例分析
