2019年11月份温州市普通高中高考适应性测试
数学试题
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参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．?2?i，5； 12．25，x2?y2?4x?2y?0 13．1，?1； 14．
153，8； 415．600； 16．5； 17．{?3,5?2323,1?}． 99三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．(Ⅰ)由正弦定理，得asinB?bsinA?3sinA，
则sinA?asinB?4sinA?23，得sinA?又A为锐角，故A?3， 2?； 32???1?cos?2x????3?1?cos2x?2?2?(Ⅱ)f(x)?cos?x???cosx?322?? ??1?333???sin2x?cos2x?sin2x?????，
2?2223???因0≤x≤???2??≤2x?≤，故，
2333于是?333???≤sin?2x??≤1，因此?≤f?x?≤，
4223??即f(x)的值域为???33?,?. 42??19．（I）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连结AN，DN，
BM.
因DP?DB，N为PB的中点， 故PB?DN.
同理，PB?AN，BMD?PA.
NCMBAP 数学（高考试题）参考答案 第 5 页（共 10 页）
故PB?平面DNA. 故PB?AD.
因平面PAD?平面PBA，平面PAD平面PBA?PA，
BM?平面PBA，BM?PA， 故BM?平面PAD. 则BM?AD.
又PB，BM是平面PBA中的相交直线， 故AD?平面PBA.
（II）法一：设直线AB和DC交于点Q，连结PQ，则PQ?PA.
因面ADP?面ABP，故PQ?面PAD， 则面PQD?面PAD.
DG取PD的中点G，连结AG，QG，则AG?面PQD，
C所以?AQG就是直线AB与平面PCD所成角. 不妨设AB?2，则在Rt?AGQ中，AG=2，AQ?4， 故sin?AQG?AG2?， AQ4PBQA所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为
2. 4zD法二：由（I）知，AD?面ABP，又BC∥AD， 故BC?面PAB.
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设AB?2，则A(0,0,0)，B(1,3,0)，C(1,3,1)，
D(0,0,2)，P(2,0,0)，
则AB?(1,3,0)，CD?(?1,?3,1)，PD?(?2,0,2). 设n?(x,y,z)是面PCD的一个法向量， ???x?3y?z?0，??n?CD?0，则?，即?，
?2x?2z?0?n?PD?0???CxPByA数学（高考试题）参考答案 第 6 页（共 10 页）
取x=1，则n?(1,0,1).
设直线AB与平面PCD所成的角为?， 则sin??|cos?AB,n??||AB?n|12??，
|AB|?|n|1?31?14所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为
2. 4?2an?1a?ad20．解答：（I）记d为{an}的公差，则对任意n?N，a?2n?1n?2，
2n即{2n}为等比数列，公比q?2?0.
由S1?2，S2?2，S3?2成等比数列，得(S2?2)?(S1?2)(S3?2)， 即[2(1?q)?2]?(2?2)[2(1?q?q)?2]，解得q?2，即d?1.
?所以an?a1?(n?1)d?n，即an?n(n?N)；
ad222（II）由（I），即证：11??12?1n?n(1?)(n?N?).
n?1n下面用数学归纳法证明上述不等式.
①当n?1时，不等式显然成立；
②假设当n?k(k?N)时，不等式成立，即?11??12?1k?k(1?)，
k?1k则当n?k?1时，11??12?11k1. ??k(1?)?k?1kk?1k?1k1k?1k2?2k?k2?2k?1)?]?k?1(1?)??0， 因[k(1?k?1k?2k?1k?2故k(1?k1k?1)??k?1(1?). k?1k?2k?1于是11??12?11k?1??k?1(1?)，
(k?1)?1kk?1数学（高考试题）参考答案 第 7 页（共 10 页）
即当n?k?1时，不等式仍成立. 综合①②，得11??12??1n?n(1?)(n?N?).
n?1n所以
a1an(?n?na1a2ann)?1?(n?N?). ann?121．解答：（I）易得直线AB的方程为(y1?y2)y?2px?y1y2，
代入(p,0)，得y1y2??p2??4，所以p?2； 22yy12y2（II）点A(,y1)，B(,y2)，则H(?1,y1)，直线PQ:y??1(x?1)，
4422代入y?4x，得y1x?(2y1?16)x?y1?0.
22224(y12?4)设P(x3,y3)，Q(x4,y4)，则|PQ|?x3?x4?2?.
y12设A，B到PQ的距离分别为d1，d2，由PQ:y1x?2y?y1?0，得
2y13y1y2y13|?2y1?y1?(?2y2?y1)||?y1?(?y2?2y2?y1)|44d1?d2??4?22y1?4y1?4
y134y13|?2y?|1|?2y1?y2|4y(y12?4)214， ??222y1?44y1y1?4y1?4因此SAPBQ(y12?4)51?|PQ|?(d1?d2)?. 322y14(x2?4)4(x2?6)(x2?4)5设函数f(x)?， (x?0)，则f'(x)?x7x6可得，当x?(0,6)时，f(x)单调递减；当x?(6,??)时，f(x)单调递增，
从而当y1?6时，S取得最小值12f(6)?2515． 9数学（高考试题）参考答案 第 8 页（共 10 页）
axax22．解答：（I）由f?(x)?a?e?a?a(e?1)=0，解得x?0．
①若a?0，则当x?(0,??)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)内单调递增； 当x?(??,0)时，f?(x)?0，故f(x)在(??,0)内单调递减．
②若a?0，则当x?(0,??)时，f?(x)?0，故f(x)在(0,??)内单调递增； 当x?(??,0)时，f?(x)?0，故f(x)在(??,0)内单调递减． 综上所述，f(x)在(??,0)内单调递减，在(0,??)内单调递增． （II）f(x)≥a2a． (x?1)，即eax≥(x?1)2（﹡）
22a1令x?0，得1≥，则?a≤2．
22当x??1时，不等式（﹡）显然成立，
当x?(?1,??)时，两边取对数，即ax≥2ln(x?1)?ln令函数F(x)?2ln(x?1)?ax?lna恒成立． 2a，即F(x)≤0在(?1,??)内恒成立． 222?a(x?1)2由F?(x)??a?=0，得x??1??1．
x?1x?1a22故当x?(?1,?1)时，F?(x)?0，F(x)单调递增；当x?(?1+，?)时，F?(x)?0，
aaF(x)单调递减.
2aa?2?a?ln?a?2?ln． a22a1令函数g(a)?a?2?ln，其中?a≤2，
221a?1则g?(a)?1???0，得a?1，
aa1故当a?(,1)时，g?(a)?0，g(a)单调递减；当a?(1,2]时，g?(a)?0，g(a)单调
2因此F(x)≤F(?1)?2ln递增．
2a13?0，g(2)?0，
221故当?a≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0恒成立，
2又g()?ln4?数学（高考试题）参考答案 第 9 页（共 10 页）
即当1a?a≤2时，对任意的x?[?1,??)，均有f(x)?(x2?1)成立． 数学（高考试题）参考答案 2
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