构造齐次方程——解决圆锥曲线的
一类问题(总4页)
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构造齐次方程解决一类问题
一 准备知识
定理：若直线与二次曲线交于P，Q两点，则P，Q与原点O连线的方程是
﹡
证明：设点P的坐标为（）,则：—————————①
——————————————————②
又直线OP上任一点的坐标可设为
，其中
，当
时，有
=〔〕
=()=0, 故直线上任一点的坐标（）都适合方程﹡，从而直线OP上任一点都在方程﹡所表示的曲线上。同理直线OQ上任一点都在方程﹡所表示的曲线上。
又设直线OP，OQ的方程分别是的左边必含有因式
，则由上证明知方程﹡
，因为方程﹡的左边为关于
的齐二次两方程
式，根据多项式因式分解是唯一的，所以方程﹡必与
同解。综上知：P，Q与原点O的连线方程可以表示为﹡。
注意：本定理给出了直线与二次曲线相交时，两交点与原点连线的直线方程的构造法。
若将方程﹡的左边展开整理后得到关于
，其中A=
C=
的齐二次方程，B=
，
，则可以得到以下两个推论。
2
推论1：若方程（C）表示过原点且
。
不重合的两条直线，则这两条直线的夹角满足
证明：因为方程直线，所以
，则其可以化为
（C
）表示过原点且不重合的两条
，又
，所，则
以该方程有两个不相等的实数根，这两个根就是这两条直线的斜率
，依两直线的夹角公式得：
。
注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张角大小的计算方法。
推论2：方程（C
重合的两条直线，若这两条直线互相垂直，则
证明：由推论1知：当这两条直线互相垂直时，在，而
=0，即
，所以
）表示过原点且不。
，。
的值不存
注意：本推论给出了直线与圆锥曲线相交时，相交弦对原点张直角问题的解决方法。 二 例题
例1（97年上海高考题）抛物线方程为，直线与轴的交点在抛物线的准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q，R，，求关于表达式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的焦点F到直线大于
，求
的取值范围。
的函数的
的距离不
解：（1）由消去整理得：
，因为直线
与轴的交点为
，则，所以
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构造齐次方程——解决圆锥曲线的一类问题
