??ADB??MBD，且?ABD?90? ?BM?MD，?MAB??MBA ?BM?MD?AM?4 ?BD2?ADACD，且CD?6，AD?8， ?BD2?48， ?BC2?BD2?CD2?12 ?MC2?MB2?BC2?28 ?MC?27 ?BM//CD ??MNB∽?CND ?
BMMN2??，且MC?27 CDCN347 5?MN? 28．（12分）如图，抛物线y?ax2?bx?c的图象过点A(?1,0)、B(3,0)、C(0,3)． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得?PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及?PAC的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S?PAM?S?PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题 【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点A(?1,0)、B(3,0)，故可设交点式y?a(x?1)(x?3)，把点C代入即求得a的值，减小计算量． （2）由于点A、B关于对称轴：直线x?1对称，故有PA?PB，则
C?PAC?AC?PC?PA?AC?PC?PB，所以当C、P、B在同一直线上时，
C?PAC?AC?CB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x?1代入即求得点P纵坐标． （3）由S?PAM?S?PAC可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有CM//PA．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标． 【解答】解：（1）?抛物线与x轴交于点A(?1,0)、B(3,0) ?可设交点式y?a(x?1)(x?3) 把点C(0,3)代入得：?3a?3 ?a??1 ?y??(x?1)(x?3)??x2?2x?3 ?抛物线解析式为y??x2?2x?3 （2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得?PAC的周长最小． 如图1，连接PB、BC ?点P在抛物线对称轴直线x?1上，点A、B关于对称轴对称 ?PA?PB ?C?PAC?AC?PC?PA?AC?PC?PB ?当C、P、B在同一直线上时，PC?PB?CB最小 ?A(?1,0)、B(3,0)、C(0,3) ?AC?12?32?10，BC?32?32?32 ?C?PAC?AC?CB?10?32最小 设直线BC解析式为y?kx?3 把点B代入得：3k?3?0，解得：k??1 ?直线BC:y??x?3 ?yP??1?3?2 ?点P(1,2)使?PAC的周长最小，最小值为10?32． （3）存在满足条件的点M，使得S?PAM?S?PAC． ?S?PAM?S?PAC ?当以PA为底时，两三角形等高 ?点C和点M到直线PA距离相等 ?M在x轴上方 ?CM//PA ?A(?1,0)，P(1,2)，设直线AP解析式为y?px?d ??p?d?0?p?1 解得：? ??p?d?2d?1???直线AP:y?x?1 ?直线CM解析式为：y?x?3 ?x1?0?x2?1?y?x?3?? 解得：（即点， C)??2y?3y?4y??x?2x?3??1?2?点M坐标为(1,4)
2019年四川省凉山州中考数学试卷
