2020 年中考数学总复习圆压轴题专题练习
1．如图，点O为 Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的 ⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与 ⊙O相切； （2）解：连接OE，ED，
∵∠BAC＝60°，OE＝OA， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°，
又∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO，
∴四边形OAED是菱形，
∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM， ∴S△AED＝S△AOD， ∴阴影部分的面积＝S扇形
2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE， ∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若 AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．
＝π．
（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝∠BCE， ∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接BD，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴
＝
，
∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝ 90°，
∴△ADB是等腰直角三角形， ∴AB＝∴AC＝
AD＝4
， ＝
＝ ．
∵BC＝3，
3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED ⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为 2，求阴影部分面积．
（1）证明：连接OE．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA， 又∵∠DAE＝∠OAE， ∴∠OEA＝∠DAE， ∴OE∥AD，
∴∠ADC＝∠OEC， ∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°， 故∠OEC＝90°． ∴OE⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝45°， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，
∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝
2×2﹣
＝2﹣
．
4．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧 AE＝ 弧AB，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G， AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC． 解：（1）△FAG等腰三角形； 理由：∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧AE＝弧AB， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形； （2）成立； ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90° ∴∠ABE+∠AGB＝90° ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧AE＝弧AB， ∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，
且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°， ∴∠BAD＝∠ABG， ∴AF＝BF， 又∵AF＝FG， ∴F为BG的中点 ∵△BAG为直角三角形， ∴AF＝BF＝BG＝13， ∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，
2020 年中考数学总复习圆压轴题专题练习
