www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第7章 多元回归分析：估计问题
7.1 复习笔记
考点一：三变量模型：符号与假定 ★★★
1．三变量模型
三变量模型的总体回归函数（PRF）为：Yi＝β1＋β2X2i＋β3X3i＋ui。其中，β1是截距项，给出了模型中所有未包含的变量对Y的平均影响；系数β2和β3是偏回归系数。
2．模型假定（见表7-1）
表7-1 模型假定
3．对无完全共线性假定的理解
1 / 40
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 （1）无完全共线性是指不存在一组不全为零的数λ2和λ3，使得λ2X2i＋λ3X3i＝0成立。 （2）存在完全共线性的后果
当X3i＝2X2i时，回归变成：Yi＝β1＋（β2＋2β3）X2i＋ui＝β1＋αX2i＋ui。α衡量X2与X3对Y的联合影响，从而无法估计出每个变量的单独影响。
（3）现实中的共线性问题
①当为经验分析搜集数据时，不能保证回归元之间不存在相关。 ②多重共线性并不排除变量间存在的非线性关系。
考点二：对多元回归方程的解释 ★
给定经典回归模型的假定，对Y求条件期望可得：E（Yi|X2i，X3i）＝β1＋β2X2i＋β3X3i。因此，多元回归分析是以多个解释变量的固定值为条件的回归分析，得到的是给定回归元值时Y的平均值。
考点三：偏回归系数的含义 ★
β2度量在X3保持不变的情况下，X2每变化1单位导致E（Y）变化程度。β3度量在保持X2不变的情况下，X3每变化1单位导致E（Y）的变化程度。
考点四：偏回归系数的OLS与ML估计 ★★★★
1．OLS估计量
与方程的PRF相对应的样本回归函数为：Yi＝β1＋β2X2i＋β3X3i＋ui，其中ui是残差项。OLS估计的基本思想是选择未知参数的值使残差平方和（RSS）∑ui2尽可能小，即min∑ui2
2 / 40
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
www.100xuexi.com ∧
∧
∧
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ＝∑（Yi－β1－β2X2i－β3X3i）2。可得正规方程为：
????X???X
Y??122332??YX??X??X?i2i1?2i2?2i???3?X2iX3i
2???YX??X??XX??X?i3i1?3i2?2i3i3?3i
得到β1的OLS估计量：β1＝Y－β2X2－β3X3。
用小写字母表示对样本均值离差，系数β2和β3的OLS估计量为：
2yxx??i2i???3i????yix3i???x2ix3i?∧＿∧＿∧＿
?=?2??x???x????x22i23i2ix3i?2
?=?3
2yxx??i3i???2i????yix2i???x2ix3i???x???x????x22i23i2ix3i?2
2．OLS估计量的方差和标准误
计算标准误的目的是为了建立置信区间和假设检验。有关的公式如下：
?1X2x2?X2x2?2XX?xx2?3i3?2i23?2i3i?????2var?1??222 ?n?xx?xx???2i?3i?2i3i???????var??se?11??var?2∧
??22i??
??2x?3i??x???x????x23i 3 / 40
2i3ix?2??2
等价地有：var（β2）＝σ2/[∑x2i2（1－r232）]。其中r23是X2和X3的样本相关系数。
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ???var??se?22??22i??
??var?3∧
??2x?2i??x???x????x23i2ix3i?2??2
等价地：var（β3）＝σ2/[∑x3i2（1－r232）]。
???var??se?33????
?, ??=cov?23在这些公式中
∧
???r23?221?r?23?2x?2i∧
2x?3i∧
σ2是
∧
ui的方差。σ2的一个无偏估计量是：σ2＝∑ui2/（n－3）。其中，∑u
∧
22
i＝∑yi－β2∑yix2i－β3∑yix3i。
3．OLS估计量的性质
（1）三变量回归线（面）通过样本均值Y、X2和X3。 （2）估计的Yi均值等于真实的Yi均值。 （3）
＿
＿
＿
?u∧∧
i?ui?0。
∧
∧
（4）残差ui与X2i和X3i不相关，即∑uiX2i＝∑uiX3i＝0。 （5）残差ui与Yi不相关，即∑uiYi＝0。
（6）当r23逐渐趋于1时，对于给定的σ2和∑x2i2或∑x3i2，β2和β3的方差不断增大。 （7）对于给定的r23和∑x2i2或∑x3i2值，OLS估计值的方差与σ2成正比。类似地，对于给定的σ2和r23值，β2的方差与∑x2i2成反比。关于β3的方差也有类似变化。
（8）偏回归系数的OLS估计量是最优线性无偏估计量（BLUE）。
4 / 40
∧
∧
∧
∧
∧
∧∧
www.100xuexi.com
4．ML估计量
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 在随机干扰项服从零均值和同方差σ2的正态分布假定下，双变量模型回归系数的ML估计量和OLS估计量是相等的。这种关系对于包含任意多个变量的模型也适用。对于σ2的OLS估计量和ML估计量则是不一致的。不管模型中有多少个变量，σ2的ML估计量都是∑ui2/n；而OLS估计量却随变量个数的变化而变化，因为k变量模型的σ2的OLS估计量为∑ui2/（n－k）。
考点五：多元判定系数R2与多元相关系数R ★★★
在三变量模型中，Y的变异中由变量X2和X3联合所能解释的比例，被称为多元判定系数R2。因为ESS＝yi＝β2∑yix2i＋β3∑yix3i，所以R2＝ESS/TSS＝（β2∑yix2i＋β3∑yix3i）/∑yi2。R2和r2一样，介于0与1之间。R2越靠近1，模型“拟合”得越好。多元相关系数R度量Y和所有解释变量的共同相关程度，永远取正值。实际上，R没有多大重要性，更有意义的量是R2。
R2与多元回归模型中的偏回归系数的方差var（βj）之间的关系为：var（βj）＝[σ2/（∑xj2）]·[1/（1－Rj2）]。其中βj是回归元Xj的偏回归系数，而Rj2是Xj对其余k－2个回归元进行回归的R2。
考点六：从多元回归的角度看简单回归：设定偏误初探 ★
与“真实”的多元回归相比，设定偏误会导致的后果主要包括：①参数估计值相差很多倍；②标准误不同；③截距值不同；④r2值明显不同，而随着模型中回归元个数的增加，r2值通常都会提高。可见，错误拟合一个模型将会导致严重后果。
5 / 40
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧∧
古扎拉蒂《计量经济学基础》复习笔记和课后习题详解(多元回归分析：估计问题)【圣才出品】
